Sia $\{F_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ la successione dei numeri di Fibonacci definita ponendo $F_0 =
0, F_1 = 1$, e richiedendo che per ogni intero $n > 0$ valga la relazione
$F_{n+1} = F_n + F_{n−1}$.
(a) Determinare una matrice 2 × 2, a coefficienti interi, $A$ tale che per
ogni intero $n > 0$ valga l’uguaglianza
$(F_{n+1}, F_n)^t=A(F_n, F_{n-1})^t$.
(b) Dare una formula chiusa per $F_n$ utilizzando gli autovalori di A.
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Livello 6
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Livello 8
Non so se ho capito bene.
F(n+1) = F(n) + F(n-1)
Ponendo
F(n-1) = x1(k)
F(n) = x2(k)
risulta subito
x1(k+1) = x2(k)
x2(k+1) = x1(k) + x2(k)
x(k+1) = A x(k) con
A = [ 0 1; 1 1]
nel punto b) si deve usare l'algoritmo per il calcolo di A^n
che utilizzava la diagonalizzazione. Gli autovalori di A sono (1 - rad(5))/2 e
(1 + rad(5))/2 per cui avremo due modi di evoluzione, uno convergente e
l'altro divergente.
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Livello 7
@eidosm corretto, $F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n\right]$. 🙂
