Salve, ho difficoltà con lo studio della positività delle funzioni irrazionali, in particolare quelle con indice dispari. E in particolare quando dentro la radice c'è tipo (x-1) e quindi non si puo mettere in evidenza la x nello svolgimento della disequazione. Qualcuno potrebbe aiutarmi e darmi anche delle dritte da seguire in genere per lo studio del segno delle funzioni irrazionali? Grazie mille in anticipo.
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Livello 0
Ciao. Le funzioni irrazionali, quelle del tipo y=[f(x)]^(1/n) con n=2,3,... ecc.
Si possono distinguere con n pari (es n=2) ed n dispari (es. n=3).
Se n pari il segno è dettato dal segno che compare davanti alla radice: ad es. y=-√(1 - x^2) il segno è negativo per 0<x<1. Naturalmente devi sempre determinare prima il C.E. della funzione stessa.
Se n dispari devi analizzare il segno del radicando, perché in tal caso il segno della funzione coincide con questo.( se il radicando è negativo, risulterà pure la funzione irrazionale).
Nel tuo esempio: y=(x^3-4x^2)^(1/3)
x^3 - 4·x^2 ≥ 0
x^2·(x - 4) ≥ 0------->x = 0 ∨ x ≥ 4
Segno funzione:
-------------[0]--------[4]++++++++++
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Genius II
y = rad_3 (x^3 - 4x^2) è definita in R perché l'indice di radice é dispari.
Sempre per questo motivo il segno della funzione é sempre concorde con quello del suo radicando.
Gli intervalli di positività sono le soluzioni di x^2 (x - 4 ) > 0
ovvero x > 4. La funzione é
negativa per x < 4
vale 0 per x = 0 e x = 4
positiva per x > 4
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Livello 6
@eidosm ciao e grazie per aver risposto. A me verrebbe da fare così: metto in evidenza x^2 e faccio x^2(x-4)>0 -----> x^2>0 = x>0
x>4
Sì, va bene.
La funzione di variabile reale x
* f(x) = y = (x^3 - 4*x^2)^(1/3) = ((x - 4)*x^2)^(1/3)
con le due prime derivate
* y' = (3*x - 8)*x/(3*(((x - 4)*x^2)^(1/3))^2)
* y'' = 32*x^2/(9*((4 - x)*x^2)^(5/3))
è definita reale sull'intero asse reale e, per ogni x, ha anche due valori complessi coniugati; è continua ovunque e derivabile quasi ovunque salvo che negli zeri (x = 0, doppio; x = 4) dove y' è indefinita.
Essendo continua ovunque e conoscendo gli zeri i segni si stabiliscono con una sola valutazione
* f(2) = ((2 - 4)*2^2)^(1/3) = - 2 < 0
RISULTATO
f(x) è negativa fra gli zeri e positiva all'esterno.
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Genius I
