[Risolto] Studio segno derivata seconda

Hai ottenuto:

y’’ =-(x^4-4x^2+1)/(x^3-x)^2.     ?
perché non è la stessa cosa che hai scritto!

OK! Ti do una dritta:

Poni:

- (x^4 - 4·x^2 + 1)/(x^3 - x)^2 ≥ 0  (cioè y''≥ 0  e ricordati che sei partito da qui!)

Sistema meglio la disequazione fratta:

(x^4 - 4·x^2 + 1)/(x^2·(x^2 - 1)^2) ≤ 0, poni: x^2·(x^2 - 1)^2 ≠ 0

cioè: x ≠ -1 ∧ x ≠ 1 ∧ x ≠ 0

(che molto probabilmente erano anche le C.E. della funzione y)

Con tali posizioni la disequazione è equivalente a scrivere:

x^4 - 4·x^2 + 1 ≤ 0  

Poni: x^2 = α e risolvi:

α^2 - 4·α + 1 = 0--------> α = 2 - √3 ∨ α = √3 + 2 (equazione associata e relative radici)

Quindi ottieni 4 radici in x:

x^2 = 2 - √3    ------------> vedi tu

x^2 = √3 + 2    ------------> vedi tu

Poi scomponi il primo membro nel prodotto di 4 fattori lineari in x e risolvi la disequazione.

Credo che questo tu lo sappia fare. Ciao.

Dopo avere letto tutti i miei commenti rivedi i calcoli che hai fatto.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=table%5BD%5B+LN%28x%2F%28x%5E2-1%29%29%2C%7Bx%2Ck%7D%5D%2C%7Bk%2C1%2C2%7D%5D

 

 

 

y" = -(x^4-4x^2+1)/(x^3-x)^2

 

• Dominio y"(x). 

Il denominatore si annulla per x=0 v x=±1

Dominio =ℝ\{-1,0,1}

 

• Segno della derivata seconda.

Osserviamo che il denominatore risulta positivo nell'intero dominio, quindi il segno della derivata seconda è eguale al segno del numeratore.

determiniamo dapprima gli zeri

-x⁴+4x²-1 = 0

poniamo t=x²

-t²+4t-1 = 0

Le due soluzioni sono t=2-√3 V t=2+√3 entrambe positive a cui corrispondono le 4 soluzioni reali 

i) x = ±√(2-√3) ≝ ±α (le indicheremo in questo modo per salvare spazio)

ii) x = ±√(2+√3) ≝ ±β

dalle soluzioni dell'equazione in t segue che possiamo fattorizzare il trinomio

(t-2+√3)*(-t+2+√3) = -t²+4t-1

passando alla variabile in x

(x²-2+√3)*(-x²+2+√3) = -x⁴+4x²-1

Rappresentiamo il tutto sulla griglia dei segni che ritengo più espressiva

......-β....-1....-α.....0.....α.....1.....β.....

..............X............X...........X............ Dominio

+++++++++0----------0+++++++++ (x²-2+√3) 

------0++++++++++++++++++0---- (-x²+2+√3)

------0++X++0-----X----0++X+++0----  y"(x)

Concludiamo con il segno.

► y"(x) = 0 per x=±√(2-√3) V x=±√(2+√3)

► y"(x) < 0 in (-oo,-√(2+√3)) U (-√(2-√3),0) U (0,√(2-√3)) U (√(2+√3),+oo)

► y"(x) > 0 in (-√(2+√3),-1) U (-1,-√(2-√3)) U (√(2-√3),1) U (1,√(2+√3))

NB. La funzione y"(x) è una funzione pari; questa osservazione ci permette di controllare la simmetria dei risultati.

 

Il rapporto fra due polinomii
f(x) = N(x)/D(x) = - (x^4 - 4*x^2 + 1)/(x^3 - x)^2
è indefinito sui tre zeri di D(x) ({- 1, 0, 1}), nullo sui quattro di N(x) ({± √(2 ± √3)}), e di segno costante negl'intervalli delimitati da
* {- ∞, - √(2 + √3), - 1, - √(2 - √3), 0, √(2 - √3), 1, √(2 + √3), + ∞}
In quanto rapporto fra funzioni pari, basterebbe esaminarne i segni su x > 0.
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In due intervalli adiacenti a uno zero i segni sono discordi (quindi basta una sola valutazione), mentre per pronunciarsi sul segno di quelli adiacenti a un polo occorre calcolare i limiti destro e sinistro.
Con
f(3/2) = 188/225 > 0
* lim_(x → ± ∞) f(x) = 0
* lim_(x → ± 1) f(x) = + ∞
* lim_(x → 0) f(x) = - ∞
si vede che in due intervalli adiacenti a un polo i segni sono concordi fra di loro e con l'infinito che li separa.
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CONCLUSIONE
* per x < - √(2 + √3), f(x) < 0
* per x = - √(2 + √3), f(x) = 0
* per - √(2 + √3) < x < - 1, f(x) > 0
* per x = - 1, f(x) è indefinita
* per - 1 < x < - √(2 - √3), f(x) > 0
* per x = - √(2 - √3), f(x) = 0
* per - √(2 - √3) < x < 0, f(x) < 0
* per x = 0, f(x) è indefinita
* per 0 < x < √(2 - √3), f(x) < 0
* per x = √(2 - √3), f(x) = 0
* per √(2 - √3) < x < 1, f(x) > 0
* per x = 1, f(x) è indefinita
* per 1 < x < √(2 + √3), f(x) > 0
* per x = √(2 + √3), f(x) = 0
* per x > √(2 + √3), f(x) < 0