Notifiche
Cancella tutti

[Risolto] Derivate parziali successive

  

0

Ciao a tutti 🖐️ 

sto scrivendo la formula di Taylor attorno al punto $(0,0)$ fino al terzo ordine della seguente funzione $f(x,y)= ye^{xy}$ ,ma mi blocco nel calcolo della derivata mista $\frac {\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ .

Mi aiutate a capire come svolgere il calcolo?

Grazie 😊 

Autore

L'ho calcolata è $(2y+xy^{2})e^{xy}$, grazie a tutti comunque

Etichette discussione
2 Risposte
2

Il gradiente nabla[f(x, y)] di una qualsiasi funzione f(x, y) è il vettore
* nabla[f(x, y)] = {∂f/∂x, ∂f/∂y}
che ha per componenti le sue derivate parziali.
Pertanto
* nabla[∂f/∂x] = {∂^2f/∂x^2, ∂^2f/(∂x∂y)}
* nabla[∂f/∂y] = {∂^2f/(∂y∂x), ∂^2f/∂y^2}
e si dimostra che
* ∂^2f/(∂x∂y) = ∂^2f/(∂y∂x)
quindi che la matrice hessiana delle derivate seconde
* H = {{∂^2f/∂x^2, ∂^2f/(∂x∂y)}, {∂^2f/(∂y∂x), ∂^2f/∂y^2}}
è simmetrica e che il determinante hessiano vale
* h = det[H] = (∂^2f/∂x^2)*(∂^2f/∂y^2) - (∂^2f/(∂x∂y))^2
------------------------------
NEL CASO IN ESAME
* f(x, y) = y*e^(x*y)
* nabla[y*e^(x*y)] = {(y^2)*e^(x*y), (x*y + 1)*e^(x*y)}
* nabla[(y^2)*e^(x*y)] = {(y^3)*e^(x*y), y*(x*y + 2)*e^(x*y)}
* nabla[(x*y + 1)*e^(x*y)] = {y*(x*y + 2)*e^(x*y), x*(x*y + 2)*e^(x*y)}
il che verifica nei fatti l'eguaglianza
* ∂/∂y ((y^2)*e^(x*y)) = ∂/∂x ((x*y + 1)*e^(x*y)) = y*(x*y + 2)*e^(x*y)
e la simmetria di
* H = {{(y^3)*e^(x*y), y*(x*y + 2)*e^(x*y)}, {y*(x*y + 2)*e^(x*y), x*(x*y + 2)*e^(x*y)}}
con
* h = det[H] = - 2*(y^2)*(x*y + 2)*e^(2 x y)
------------------------------
RISPOSTA a "come svolgere il calcolo?"
* ∂^2f/(∂x∂y) = ∂/∂y (∂f/∂x) = ∂/∂x (∂f/∂y) = y*(x*y + 2)*e^(x*y)

Grazie mille @exprof, lo esporto su word lo stampo... non si sa mai 😉 

@Antonella_Falzea
Grande complimento, graditissimo! Grazie.




2

@antonella_falzea

Ciao. Io ho ottenuto:

z = y·e^(x·y)

Derivate prime: Z'x  = y^2·e^(x·y) e  Z'y  = e^(x·y)·(x·y + 1)

Derivando la prima rispetto ad y e la seconda rispetto ad x ho ottenuto:

Z''xy=Z''yx = y·e^(x·y)·(x·y + 2)

Hai fatto quindi in modo corretto il calcolo.

Risposta



About SosMatematica

Seguici su:

Scarica la nostra App Ufficiale

SOS Matematica

GRATIS
VISUALIZZA