[Risolto] Aiuto problema di geometria analitica

A(-1,3) e B(3,1)

Calcolo coordinate di M:

{x=(-1 + 3)/2 = 1

{y=(3 + 1)/2 = 2            ------> M(1,2)

Determino la pendenza del segmento AB:

m'=(1 - 3)/(3 + 1) = - 1/2

Determino la retta g asse del segmento AB: (m=-1/m') coefficiente angolare m=2

y - 2 = 2·(x - 1)--------> y = 2·x    Passa per O(0,0) in quanto q=0

Determino la retta r  per B(3,1)

y-1=2(x-3)----------->y = 2·x - 5

Determino la retta s per O:----------->y = - 1/2·x    parallela ad AB (condizioni di parallelismo)

Punto di intersezione fra r ed s:

{y = 2·x - 5

{y = - 1/2·x            risolvo: x = 2 ∧ y = -1 quindi D(2,-1)

per costruzione il quadrilatero è un trapezio rettangolo , retto in D.

Per il calcolo dell'area procedo con il metodo dell'allacciatura delle scarpe:

A(-1,3)

B(3,1)

D(2,-1)

O(0,0)

A(-1,2)

Area trapezio=

=1/2·ABS((-1)·1 + 3·(-1) + 2·0 + 0·2 - ((-1)·(+0)·(-1) + 2·1 + 3·3)) = 15/2 = 7.5

 

 

a) Tutti e soli i punti P(x, y) equidistanti da due dati punti A(a, p) e B(b, q) giacciono sull'asse del segmento AB
* Per p = q: asse(AB) ≡ x = (a + b)/2
* Per p != q: asse(AB) ≡ y = (2*(b - a)*x + a^2 - b^2 + p^2 - q^2)/(2*(p - q))
Con
* A(- 1, 3), B(3, 1)
si ha
* asse(AB) ≡ y = 2*x
che ovviamente, in carenza di termine noto, passa per l'origine.
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b) Per le definizioni di M e di "asse del segmento AB" il fascio delle parallele ad OM è
* r(q) ≡ y = 2*x + q
e quello delle parallele ad AB è
* s(p) ≡ y = p - x/2
Le richieste condizioni di passaggio impongono i vincoli
* per B(3, 1): 1 = 2*3 + q ≡ q = - 5
* per O(0, 0): 0 = p - 0/2 ≡ p = 0
da cui
* r(- 5) ≡ y = 2*x - 5
* s(0) ≡ y = - x/2
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c) s & r ≡ (y = - x/2) & (y = 2*x - 5) ≡ D(2, - 1)
La natura del quadrilatero ABDO si stabilisce esaminando le pendenze dei lati e l'area si calcola a partire dalle loro lunghezze.
* AB è lungo 2*√5 e giace sulla y = (5 - x)/2 di pendenza m = - 1/2
* BD è lungo √5 e giace sulla y = 2*x - 5 di pendenza m' = - 1/m = 2
* DO è lungo √5 e giace sulla y = - x/2 di pendenza m = - 1/2
* OA è lungo √10 e giace sulla y = - 3*x di pendenza m'' = - 3
QUINDI
AB è parallelo a DO e sono entrambi ortogonali a BD, mentre OA è obliquo a tutt'e tre: ABDO risulta essere un trapezio rettangolo di misure
* |AB| = a = 2*√5 (base maggiore)
* |DO| = b = √5 (base minore)
* |BD| = h = √5 (altezza)
* |OA| = L = √10 (lato obliquo)
L'area S, prodotto fra altezza e media delle basi, vale
* S = h*(a + b)/2 = (√5)*(2*√5 + √5)/2 = 15/2