A) Se u0>1, si studi la monotonia di u(t) nell’intervallo I in cui è definita.
Riscriviamo come:
$u'(t)=\frac{u(t)}{1+(u(t))^2}$
Notiamo dunque che, essendo $1+(u(t))^2$ sempre positivo, la derivata assume lo stesso segno del numeratore $u(t)$.
Poiché $u_0>1$ e la soluzione è definita in un intorno di $u_0$, la funzione $u(t)$ è positiva in tale intorno e dunque anche la derivata. Di conseguenza la soluzione è monotona crescente in un intorno di $u_0$.
B) Se u0>1, si studi la convessità di u(t) in I∩{t≥0}.
Deriviamo:
$u''(t)=\frac{u'(t)[1+(u(t))^2]-u(t)[2u(t)u'(t)]}{[1+(u(t))^2]^2}$
e risistemando:
$u''(t)=\frac{u'(t)[1-(u(t))^2]}{[1+(u(t))^2]^2}$
Essendo $u_0>1$, la derivata $u'(t)$ è positiva per quanto detto in precedenza e $u(t)$ è crescente.
Per la monotonia e dato che $u(0)=1$ abbiamo dunque che $u(t)<1$ se $t<0$ e $u(t)>1$ se $t>0$.
Dato che $ 1-(u(t))^2 > 0$ per $u(t)<1$ (stiamo assumendo $t\geq 0$ e dunque $u(t)\geq 0$, la derivata seconda risulta positiva per $t<0$ e dunque la funzione è convessa per $t<0$ (e concava per $t>0$).
C) Se u0<0, si dica se u(t) ammette punti di massimo o minimo relativo nell’intervallo in cui è definita.
Torniamo all'espressione
$u'(t)=\frac{u(t)}{1+(u(t))^2}$
La derivata si annulla se $u(t)=0$.
Ma notiamo che se $u(0)<0$, esiste un intorno in cui $u(t)<0$ $\forall t \in I(u_0)$, dunque in tale intorno $u(t)\neq 0$ e non abbiamo estremi.
D) Determinare una relazione che definisca implicitamente la soluzione del problema di Cauchy per u0=1.
E' una equazione a variabili separabili:
$\frac{du}{dt}=\frac{u(t)}{1+(u(t))^2}$
Riscrivo come:
$\frac{1+(u(t))^2}{u(t)}du=dt$
$\left[\frac{1}{u(t)}+u(t)\right]du=dt$
e integro:
$\ln|u(t)|+\frac{1}{2}u^2(t)=t+c$
Usando la condizione iniziale $u(0)=1$ otteniamo $c=\frac{1}{2}$ da cui:
$\ln|u(t)|+\frac{1}{2}u^2(t)=t+\frac{1}{2}$
Noemi
