Equazioni differenziali

D) Si disegni nel piano (y₀, y₁) l’insieme dei valori dei dati iniziali per cui le soluzioni dell’equazione omogenea sono convesse.

Dall’equazione differenziale omogenea:

y'' - y = 0

la soluzione generale è:

y(x) = c₁·eˣ + c₂·e⁻ˣ

Imponendo le condizioni iniziali y(0) = y₀ e y'(0) = y₁, si ottiene:

c₁ = (y₀ + y₁)/2, c₂ = (y₀ - y₁)/2

Quindi:

y(x) = [(y₀ + y₁)/2]·eˣ + [(y₀ - y₁)/2]·e⁻ˣ

Poiché y''(x) = y(x), la funzione è convessa quando y(x) ≥ 0.

Vogliamo che y(x) ≥ 0 per ogni x ∈ ℝ. Questo avviene solo se entrambi i coefficienti sono ≥ 0:

(y₀ + y₁)/2 ≥ 0 e (y₀ - y₁)/2 ≥ 0

da cui segue:

y₀ + y₁ ≥ 0 e y₀ - y₁ ≥ 0

Sommando e sottraendo:

• y₀ ≥ 0
• |y₁| ≤ y₀

L’insieme dei dati iniziali è quindi:

{(y₀, y₁) ∈ ℝ² : y₀ ≥ 0 e |y₁| ≤ y₀}

Questo corrisponde graficamente a un triangolo con base sull'asse y₀, delimitato dalle rette y₁ = y₀ e y₁ = -y₀.

​

A) 

u'' + 5u' + 4 u = 0

u(x) = C1 e^(-x) + C2 e^(-4x)

A = C1 + C2

B = -C1 - 4C2

5C2 = A - B

C2 = (A - B)/5

C1 = A - (A-B)/5 = (4A + B)/5

u*(X) = 1/5 [(4A + B) e^(-x) + (A - B) e^(-4x) ]

D) equazione omogenea

u'' + 5u' + 4u = 0

u'' = - 5u' - 4u

Dobbiamo sostituire u*

e imporre che sia sempre positivo.

Per adesso non posso svolgere i calcoli. 

Una condizione sufficiente é che i coefficienti siano positivi.

Più in generale puoi imporre che il minimo assoluto sia positivo.