Disequazione Goniometrica

• y=x/2. La disequazione diventa $\sin (y)\le 1/2$.

• Valori critici: Trova i valori di $y$ per cui $\sin (y)=1/2$. Questi sono $y=\pi /6$ e $y=5\pi /6$.

• Soluzione della disequazione in $y$: Considera il cerchio goniometrico o il grafico del seno. La funzione $\sin (y)$ è minore o uguale a $1/2$ negli intervalli che vanno da $5\pi /6$ fino a $2\pi +\pi /6=13\pi /6$. Quindi, le soluzioni per $\sin (y)\le 1/2$ sono: $5\pi /6+2k\pi \le y\le 13\pi /6+2k\pi$, con $k\in \mathbb{Z}$.

• Sostituzione inversa: Sostituisci nuovamente $y=x/2$: $5\pi /6+2k\pi \le x/2\le 13\pi /6+2k\pi$

• Moltiplica per 2: Moltiplica tutti i termini per 2 per isolare $x$: $2(5\pi /6+2k\pi )\le x\le 2(13\pi /6+2k\pi )$ $5\pi /3+4k\pi \le x\le 13\pi /3+4k\pi$

• Allineamento con la soluzione del libro: Per far coincidere questa soluzione con quella del libro (che usa un intervallo diverso ma equivalente), possiamo sottrarre $4\pi$ (che è un multiplo del periodo $4\pi$) dagli estremi dell'intervallo. $5\pi /3-4\pi =5\pi /3-12\pi /3=-7\pi /3$ $13\pi /3-4\pi =13\pi /3-12\pi /3=\pi /3$

  Quindi la soluzione diventa: $-7\pi /3+4k\pi \le x\le \pi /3+4k\pi \; spero\; che\; sia\; chiaro$

  $\pi \; questo\; è\; pigreco$

Il tuo risultato è corretto, il libro ha considerato la soluzione negativa per poter scrivere il risultato in un’unica riga.

poni α = x/2, quindi valgono le soluzioni da A a B (vedi figura)

-pi - pi/6 ≤ α ≤ pi/6----> - 7·pi/6 ≤ α ≤ pi/6

generalizzando:

- 7·pi/6 + 2·k·pi ≤ α ≤ pi/6 + 2·k·pi

quindi:

- 7·pi/3 + 4·k·pi ≤ x ≤ pi/3 + 4·k·pi