[Risolto] Studio di una funzione?

Il procedimento è piuttosto lungo, anzi direi molto lungo!

Partiamo con il campo di esistenza: il denominatore deve essere diverso da 0.

$tanx*sinx \neq 0$

che porta a $x \neq k\pi$

A questo punto espliciterei $tanx=sinx/cosx$ e semplificherei la funzione, che ti diventa alla fine (se ti piace di più):

$f(x)=cosx-\frac{1}{tan^2x}$

cerchiamo gli zeri della funzione:

$f(x)=cosx(1-\frac{cosx}{sin^2x})=0$ che significa

$cosx=0$ (la cui soluzione è banalmente $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$)

e

$1-\frac{cosx}{sin^2x}=0$ ovvero $cosx=sin^2x$ che si riscrive come

$cosx=1-cos^2x$ e quindi si ottiene un'equazione di secondo grado in $cosx$:

$cos^2x+cosx-1=0$

chiamando $z=cosx$ si può riscrivere come: $z^2+z-1=0$ la cui unica soluzione accettabile è

$z_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ ovvero $cos x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ e quindi 

$x_1=0.90455+2k\pi$ e $x_2=-0.90455+2k\pi$
Hai asintoti verticali ogni $x=k\pi$, dovuti ai valori non compresi nel campo di esistenza.

la funzione è composta da una somma di funzioni periodiche, quindi non ha senso studiare i limiti a + e  - infinito, e neanche quindi la ricerca di asintoti obliqui.

Derivata prima:

$f'(x)=-sinx-\frac{2cosx(-sinx)sin^2x-2cos^2xsinxcosx}{sin^4x}$
che si semplifica in:

$f'(x)=-sinx+\frac{2cosx}{sin^3x}$

Imponendo che $f'(x)=0$ per la ricerca dei massimi e minimi relativi si giunge all'equazione:

$2cosx=sin^4x$ che diventa

$cos^4x-2cos^2x-2cosx+1=0$

usando la stessa sostituzione di prima $z=cosx$ si ottiene:

$z^4-2z^2-2z+1=0$

la cui unica soluzione accettabile (trovata usando Wolphram Alpha) è $z_1=cosx=0.37151$ a cui corrispondono

$x_1=1.1901 + 2k\pi$

$x_2=-1.1901 + 2k\pi$

Qui mi fermo, scusami ma non ho più tempo. Prova a fare la derivata seconda, in ogni caso la funzione ha questo andamento: