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Studio di un problema di Cauchy

  

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Sia $y(x)$ la soluzione della seguente equazione differenziale
$$
\left\{\begin{array}{c}
y^{\prime \prime}(x)+e^{x^2} y(x)=0 \\
y(0)=1 \\
y^{\prime}(0)=0 .
\end{array}\right.
$$

Provare che
5.1) $y(x)=y(-x) \quad \forall x \in \mathbb{R}$,
5.2) $|y(x)| \leq 1 \quad \forall x \in \mathbb{R}$.

Screenshot 2024 03 23 11 17 06 589

Buongiorno a tutti, ho difficoltà ad approvare con la risoluzione di questo esercizio... Avete idea di come svolgerlo?

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1 Risposta



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Scrivo quello che so fare

 

5.1 Basta provare che y(-x) verifica l'equazione

infatti y'(-x) = - y'(x)

e y''(-x) = y''(x)

quindi

y''(-x) + e^(x^2) + y''(-x) = 0

5.2 Per la soluzione, che esiste per il noto teorema, (0,1) é un punto stazionario

in base alla seconda condizione iniziale

inoltre y''(0) = - e^(0^2) y(0) = -1

per cui si tratta di un massimo relativo e la funzione é pari.

Rimarrebbe da dimostrare che é assoluto nel dominio che é R

Mi verrà in mente più tardi o lo farà qualcuno più esperto

@eidosm grazie mille :))



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SOS Matematica

4.6
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