Studio di un problema di Cauchy

Question

Sia y(x)$ la soluzione della seguente equazione differenziale  left { begin {array}{c}y^{ prime  prime }(x)+e^{x^2} y(x)=0  y (0)=1  y ^{ prime }(0)=0 . end {array} right . Provare che5.1) y(x)=y(-x)  quad  forall x  in  mathbb {R},5.2) $|y(x)|  leq 1  quad  forall x  in  mathbb {R}. [attach]75597[/attach] Buongiorno a tutti, ho difficoltà ad approvare con la risoluzione di questo esercizio... Avete idea di come svolgerlo?

EidosM · Answer

Scrivo quello che so fare

5.1 Basta provare che y(-x) verifica l'equazione

infatti y'(-x) = - y'(x)

e y''(-x) = y''(x)

quindi

y''(-x) + e^(x^2) + y''(-x) = 0

5.2 Per la soluzione, che esiste per il noto teorema, (0,1) é un punto stazionario

in base alla seconda condizione iniziale

inoltre y''(0) = - e^(0^2) y(0) = -1

per cui si tratta di un massimo relativo e la funzione é pari.

Rimarrebbe da dimostrare che é assoluto nel dominio che é R

Mi verrà in mente più tardi o lo farà qualcuno più esperto

EidosM

(@eidosm)

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23/03/2024 19:02

Studio di un problema di Cauchy

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