[Risolto] PROBLEMA DI GEOMETRIA SOLIDA

Un cubo ha l’area laterale di 676 dm^2. Una pi­ramide regolare quadrangolare ha il perime­tro di base uguale a 10/13 del perimetro di una faccia del cubo. Calcola il volume della piramide, sapendo che il suo apotema è uguale allo spigolo del cubo

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Cubo

Spigolo=√676 = 26 dm

perimetro di una faccia=4·26 = 104 dm

Piramide quadrangolare regolare

Apotema laterale=26 dm

perimetro di base=10/13·104 = 80 dm

Spigolo di base=80/4 = 20 dm

Altezza piramide=√(26^2 - (20/2)^2) = 24 dm

Volume=1/3·20^2·24 = 3200 dm^3

https://www.sosmatematica.it/forum/domande/e-il-problema-400-non-ero-presente-alla-spiegazione-non-riesco-a-farlo/#post-106577

Un cubo ha l’area laterale AL di 676 dm2; una pi­ramide regolare quadrangolare ha il perime­tro di base 2p' uguale a 10/13 del perimetro 2p di una faccia del cubo. calcola il volume V della piramide, sapendo che il suo apotema a è uguale allo spigolo ℓ del cubo

cubo 

area laterale AL = ℓ^2*4 = 676

spigolo ℓ = √676/4 = √169 = 13 cm 

perimetro di una faccia 2p = 4ℓ = 13*4 = 52 cm 

piramide quadrangolare (ha per base un quadrato)

perimetro di base 2p'= 2p*10/13 = 52/13*10 = 40 cm = 4L 

lato L = 2p'/4 = 40/4 = 10 cm 

r = L/2 = 10/2 = 5 cm

apotema a = ℓ = 13 cm 

altezza h = √a^2-r^2 = √13^2-5^2 = √144 = 12 cm 

volume V = L^2*h/3 = 10^2*12/3 = 100*4 = 400 cm^2

Un cubo ha l’area laterale di 676 dm², una pi­ramide regolare quadrangolare ha il perime­tro di base uguale a 10/13 del perimetro di una faccia del cubo. Calcola il volume della piramide, sapendo che il suo apotema è uguale allo spigolo del cubo.

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$\small\textbf{Cubo:}$

$\small\text{spigolo: \(\sqrt{\dfrac{Al}{n°4\,facce}} = \sqrt{\dfrac{\cancel{676}^{169}}{\cancel4_1}}= \sqrt{169} = 13\,dm\);}$

$\small\text{perimetro di una faccia: \(2p_{cubo}= 4×s = 4×13 = 52\,dm\).}$

$\small\textbf{Piramide (base quadrata):}$

$\small\text{perimetro di base: \(2p= \dfrac{10}{13}×2p_{cubo} = \dfrac{10}{\cancel{13}_1}×\cancel{52}^4 = 10×4 = 40\,dm\);}$

$\small\text{spigolo di base: \(s= \dfrac{2p}{4} = \dfrac{40}{4} = 10\,dm\);}$

$\small\text{apotema del solido = spigolo del cubo: \(a= 13\,dm\);}$

$\small\text{apotema di base: \(a_b= \dfrac{s}{2} = \dfrac{10}{2} = 5\,dm\);}$

$\small\text{area di base: \(Ab= s^2 = 10^2 = 100\,dm^2\);}$

$\small\text{altezza: \(h= \sqrt{a^2-(a_b)^2} = \sqrt{13^2-5^2} = \sqrt{169-25} = \sqrt{144} = 12\,dm\) (teorema di Pitagora);}$

$\small\text{volume: \(V= \dfrac{Ab×h}{3} = \dfrac{100×\cancel{12}^4}{\cancel3_1} = 100×4 = 400\,dm^3\);}$