Studio di funzione, problemi con lo studio e i limiti

Ciao di nuovo.

La tua funzione è somma di una irrazionale quadratica e di una razionale fratta (iperbole equilatera)

C.E.

{9 - x^2 ≥ 0

{x ≠ 0

quindi: [x ≠ 0 ∧ -3 ≤ x ≤ 3]

Quindi C.E. [-3; 0[U]0;3]

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Intersezioni con gli assi:

{y = √(9 - x^2) + 5/x

{y = 0

Non ci sono intersezioni.

Con asse y (cioè x=0) NO: la funzione non è definita per x=0

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Segno funzione:

y>0 se 0 < x ≤ 3

y<0 se -3 ≤ x < 0

y=0 come detto MAI

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Condizioni agli estremi del C.E. ( e mi fermo qui!)

Qui devi studiare i limiti:

lim  f(x)=- 5/3

x--->-3+

Qui la funzione è ANCHE definita

lim f(x)=-∞

x--->0-

lim f(x)=+∞

x-->0+

lim f(x)=5/3

x---> 3-

I due limiti segnati in grassetto indicano la presenza di un asintoto verticale: x=0

Cioè all'avvicinarsi a 0 del valore di x la funzione spara a valori sempre più grandi in modulo: negativi a sinistra e positivi a destra dello 0. Cioè la funzione tende a verticalizzarsi.

 

Sommando membro a membro le funzioni
* y1 = √(9 - x^2)
(la semicirconferenza superiore di raggio 3 centrata nell'origine) e
* y2 = 5/x
(l'iperbole equilatera x*y = 5 centrata nell'origine, con asintoti gli assi coordinati e con i rami nei quadranti dispari) si ha quella che t'interessa
* y1 + y2 = y = √(9 - x^2) + 5/x
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Il grafico dev'essere composto di soli punti reali, quindi si traccia solo per x in [- 3, 3] in quanto all'esterno di quell'intervallo la semicirconferenza ha valori immaginarii e quindi y, essendo complesso, non è rappresentabile sul grafico.
Tale limitazione esclude l'asintoto orizzontale asse x, perché "lim_(x → ∞) y" non è reale (la funzione, definita su R\{0}, è definita reale solo su |x| <= 3.), ma non totta affatto l'asintoto verticale asse y che pertanto si deve marcare come tale (tratteggiato e di un diverso colore) sia per "lim_(x → 0-) y = - ∞" che per "lim_(x → 0+) y = + ∞".
Nell'intervallo [- 3, 3] l'addizione di √(9 - x^2) deforma verso l'alto entrambi i lati dell'iperbole, ma non abbastanza da provocare uno o due zeri per x < 0.
Quindi la funzione è concorde con la variabile tranne che nell'origine dov'è indefinita.