[Risolto] STUDIO DI FUNZIONE COMPLETO

$y(x) = (x-1)^2(x+1)^3 = x^5+x^4-2x^3-2x^2+x+1$

• Dominio = ℝ
• Limiti e asintoti.

Si tratta di una funzione polinomiale (razionale intera) quindi definita in tutto ℝ e così priva di asintoti verticali.

$ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} y(x) = -\infty $

$ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} y(x) = +\infty $

Nessun asintoto orizzontale, ne obliquo visto che si tratta di un polinomio di grado maggiore di uno. Se consideri l'ultima affermazione è un po' forte puoi sempre determinare

$m = \displaystyle\lim_{x \to ±\infty} \frac {y(x)}{x} = +\infty $

• Max/min/flessi
  • • Derivata prima. y'(x) = (x+1)^2(5x^2-6x+1)
    • Punti stazionari. $x_1 = -1; x_2 = \frac{1}{5}; x_3 = 1$

.

Studio segno derivata prima

___-1______1/5______1______

+++0+++++++++++++++++  (x+1)

+++++++++0----------0++++    (5x^2-6x+1)

+++0+++++0----------0++++   y'(x)  

dal segno della derivata prima si deduce che:

i) $x_1 = -1$ è un punto di flesso a tangente orizzontale (y(x) crescente)

ii) $x_2 = \frac{1}{5}$ punto di Massimo (y(x) cresce e poi decresce)

iii) $x_3 = 1$ è un punto di minimo (y(x) decresce e poi cresce)

• Flessi a tangente non orizzontale
  • • Derivata seconda $y^{(2)} = 4(x+1)(5x^2-2x-1)$
    • Studio segno derivata seconda

indico con:

α = (1-√6)/5 

β = (1+√6)/5 

le due radici del polinomio di secondo grado che compare nella y"(x)

____-1______α_____β____

------0++++++++++++++  (x+1)

+++++++++0-------0+++    (5x²-2x-1)

------0+++++0-------0++++  y"(x)

Due cambi di concavità in α e in β ergo altri due flessi che si aggiungono al flesso a tangente orizzontale.