[Risolto] STUDIO DI FUNZIONE COMPLETO

y = 4·x·(x - 1)^2/(2·x - 3)^2

Funzione razionale fratta con N(x) di un grado superiore al D(x): questo comporta un asintoto verticale:

x = 3/2 ed un asintoto obliquo che può calcolarsi tramite divisione generale fra polinomi osservando che la funzione può scriversi anche come: 

y = (4·x^3 - 8·x^2 + 4·x)/(4·x^2 - 12·x + 9)

y = (7·x - 9)/(2·x - 3)^2 + x + 1

Essendo:

Q(x)=x+1------> y=x+1 asintoto obliquo

R(x)=7x-9

C.E. funzione: ]-inf;3/2[U]3/2;+inf[

Intersezione con gli assi 

Nell'origine [0,0] quindi con asse x ed asse y

{y = 4·x·(x - 1)^2/(2·x - 3)^2

{y = 0

[x = 0 ∧ y = 0, x = 1 ∧ y = 0]

In particolare per x=1 si ha una radice doppia per cui la f(x) dovrà risultare tangente asse ascisse.

Le due prime derivate sono:

y ' = 4·(x - 1)·(2·x^2 - 7·x + 3)/(2·x - 3)^3

y'' = 8·(7·x - 6)/(2·x - 3)^4

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y'>0 se 1 < x < 3/2 ∨ x < 1/2 ∨ x > 3 

in cui f(x) cresce

y'<0 se 3/2 < x < 3 ∨ 1/2 < x < 1

in cui f(x) decresce

y'=0 se x = 1/2 ∨ x = 3 ∨ x = 1

punti di stazionarietà.

per x = 1/2

y = 4·(1/2)·(1/2 - 1)^2/(2·(1/2) - 3)^2----> y = 1/8

[1/2,1/8] è max relativo

per x = 3

y = 4·3·(3 - 1)^2/(2·3 - 3)^2--->y = 16/3

[3,16/3] è min relativo come lo è [1,0]

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y''>0 per x>6/7

y''<0 per x<6/7

y''=0

per x=6/7 punto di flesso