[Risolto] STUDIO DI FUNZIONE COMPLETO

$y(x) = \frac {4x^3}{x^4+1}$

• Dominio = ℝ

Si tratta di una funzione razionale fratta quindi continua e derivabile in tutto il suo dominio.

La funzione è dispari, infatti f(-x) = -f(x) questo significa che possiamo studiarla nel semiasse positivo delle ascisse e poi estendere i risultati sul semiasse negativo.

• Limiti alla frontiera e asintoti.

$\displaystyle\lim_{x \to ±\infty} y(x) = 0$

questo significa che la funzione ammette un asintoto orizzontale di equazione y = 0.

• Max/min/flessi
  • • Derivata prima $y'(x) = \frac {4x^2(3-x^4}{(x^4+1)^2}$
    • Punti stazionari. y'(x) = 0 ⇒ $x_1 = 0; \,\, x_2 = - \sqrt[4] {3}; \,\, x_3 =  \sqrt[4] {3}$

• •  Per x₁ = 0 la derivata prima è positiva sia a sinistra che a destra (funzione crescente) quindi siamo in presenza di un flesso orizzontale; le cui coordinate sono O(0, y(0)) = O(0,0)
  • Per $x_3 = \sqrt[4] {3}$ si ha un punto di Massimo (derivata prima positiva a sinistra e negativa a destra del punto x₃). Le coordinate del punto di massimo sono M(⁴√3, y(⁴√3)) = M(⁴√3, ⁴√27)
  • Per $x_2 = \sqrt[4] {3}$ Per simmetria (funzione dispari) sarà un punto di minimo di coordinate N(-⁴√3, -⁴√27)

.

• Grafico.

Numero di flessi.

Abbiamo già parlato del flesso a tangente orizzontale nell'origine degli assi.

La curva ad S nell'intervallo (0, x₂) indica la presenza di un flesso discendente. Per simmetria ve ne sarà un' altro sul corrispondente punto dell'ascissa negativa.

Nel tratto (x₂, +∞) ci deve essere un altro flesso altrimenti la funzione non tenderebbe a zero ma divergerebbe a -∞. Per simmetria ci sarà un flesso nel punto corrispondente.

In totale abbiamo contato almeno 5 flessi.