[Risolto] Studio di funzione a due variabili

@sergix

Ciao. Controlla i tuoi risultati con i miei, che si fa prima.

z = x^4 + y^4 - 4·(x + 1)·y^2 + 8·x

funzione razionale intera con C.E. R^2

Applico le C.N.:

{4·x^3 - 4·y^2 + 8 = 0

{- 4·y·(2·x - y^2 + 2) = 0

risolvo ed ottengo 5 punti critici e 4 immaginari.

[x = 0 ∧ y = √2; x = 0 ∧ y = - √2; x = - 2^(1/3) ∧ y = 0;

x = √2 ∧ y = √(2·√2 + 2);x = √2 ∧ y = - √(2·√2 + 2) ]

Analizzo l'Hessiano:

Z''xx=12·x^2

Z''yy=- 4·(2·x - 3·y^2 + 2)

Z''xy=Z''yx=- 8·y

Determino la natura dei 5 punti critici:

[0, √2]-----> H=-128 <0 punto di sella

[0, - √2]----> H = -128 <0 punto di sella

[- 2^(1/3), 0]----> H =192 - 96·2^(2/3)= 39.60949901 >0

punto di minimo relativo (Z''xx=12·2^(2/3)>0)

[√2, √(2·√2 + 2)]----> H=256·√2 + 256 >0

punto di minimo relativo (Z''xx=24>0)

[√2, - √(2·√2 + 2)]----> H= come sopra.

* f(x, y) = x^4 + y^4 - 4*(x + 1)*y^2 + 8*x
* ∇f = {4*(2 + x^3 - y^2), - 8*(x + 1)*y + 4*y^3} = {0, 0} ≡
≡ (x, y) ∈ {(- 2^(1/3), 0), (0, ± √2), (√2, ± √(2*(1 + √2)))}
Tutti i punti stazionarî sono questi cinque.
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Studiarne la natura è un po' più macchinoso: si deve costruire la matrice Hessiana H(x, y), calcolare il determinante hessiano h(x, y) = det[H(x, y)] e valutarlo sui punti stazionarî; se il valore è diverso da zero, il punto è classificato; se h(x, y) = 0 sono rogne supplementari.
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Riduco al minimo la dattilografia.
* H(x, y) = {{12*x^2, - 8*y}, {- 8*y, - 8*(1 + x) + 12*y^2}}
* h(x, y) = - 16*(6*x^3 + 3*(2 - 3*y^2)*x^2 + 4*y^2)
* punti di sella: (0, ± √2)
* minimo relativo: (- 2^(1/3), 0)
* minimi assoluti: (√2, ± √(2*(1 + √2)))