[Risolto] Studio di funzione

$ f(x) = exp^{\frac{1}{x-7}} $

• Classificazione.  Funzione trascendente (esponenziale) fratta

• Dominio = ℝ\{7}
  • La funzione è ivi continua e derivabile, in tutto il suo dominio, essendo composizione di funzioni continue e derivabili
  • Un unico punto di discontinuità in x = 7

• Segno f(x)
  • f(x) > 0; La funzione è positiva in tutto il suo Dominio
  • f(x) = 0; Ø. La funzione non ha punti di zero.

• Asintoti Verticali
  • $ \displaystyle\lim_{x \to 7^-} f(x) = 0 $
  • $ \displaystyle\lim_{x \to 7^+} f(x) = +\infty $
  • La funzione ammette un asintoto verticale destro di equazione x = 7

• Asintoti orizzontali
  • $ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1 $
  • $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1 $
  • Siamo in presenza di un asintoto orizzontale di equazione y = 1

• Massimi / minimi assoluti

dai due limiti espressi nel punto 'Asintoti Verticali' segue che

• • $ sup f(x) = +\infty $ ; di conseguenza non esiste il massimo assoluto
  • $ inf f(x) = 0 $ ;  f(x) non avendo punti di zero implica che non esiste il minimo assoluto.

• Monotonia e punti di massimo / minimo relativi
  • Derivata prima $y'(x) =  -\frac{exp^{\frac{1}{x-7}}}{(x-7)^2} $
  • Punti stazionari. Non ci sono punti stazionari, y'(x) ≠ 0 in ogni punto del Dominio.
  • Nessun punto di massimo relativo, nessun punto di minimo relativo
  • Segno derivata prima. f'(x) è negativa laddove definita
  • Monotonia. La funzione f(x):
    • decresce nell'intervallo (-∞, 7)
    • decresce nell'intervallo (7, +∞)

nota. La funzione non è globalmente decrescente.

• Flessi e Concavità
  • • Derivata seconda $f$"$(x) = \frac{(2x-13) exp^{\frac{1}{x-7}}}{(x-7)^4} $
    • Segno derivata seconda
      • $f$"$(x) < 0 $ in $(-∞, \frac{13}{2})$ La funzione è ivi concava
      • $f$"$(x) > 0 $ in $(\frac{13}{2}, 7)$  e  in $(7, +∞)$ La funzione è ivi convessa
      • $f$"$(x) = 0 $ per $x = \frac{13}{2}$ Siamo in presenza di un flesso.

• Grafico

https://www.desmos.com/calculator/odjo41ocrw