[Risolto] Studio di funzione

I punti di flesso del grafico di "y = f(x)" hanno ascissa che annulla la derivata seconda e pendenza della tangente pari alla derivata prima.
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La concavità del grafico di "y = f(x)" è rivolta verso "y < 0" nelle ascisse dove "y'' < 0" e viceversa.
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Gli zeri di "y = f(x)" partiscono l'asse x in intervalli adiacenti in cui y è di segni opposti.
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il tuo problema si risolve trovando gli zeri di y'' e valutandone il segno in un punto non di zero.
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* y = f(t) = (t - 1)*e^t/(t - e^t)^2
* y' = dy/dt = (t^2 - 2*t + 2 + (t - 2)*e^t)*e^t/(t - e^t)^3
* y'' = dy'/dt = (t^3 - 3*t^2 + 6*t - 6 + ((t - 3)*(e^t + 4*t) + 12)*e^t)*e^t/(t - e^t)^4
Tutt'e tre le funzioni sono definite ovunque perché
* t - e^t <= - 1
quindi nessun denominatore si annulla.
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* y'' = 0 ≡
≡ t^3 - 3*t^2 + 6*t - 6 + ((t - 3)*(e^t + 4*t) + 12)*e^t = 0
equazione che, avendo sia potenze che funzioni trascendenti dell'incognita, non può avere una soluzione simbolica e si deve trattare approssimando le eventuali radici con metodi grafico-numerici.
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Con
* d(t) = t^3 - 3*t^2 + 6*t - 6 + ((t - 3)*(e^t + 4*t) + 12)*e^t
il calcolo numerico si fa raffinando uno zero di d(t), isolato nell'intervallo [a, b], con "Strumenti/Ricerca obiettivo ..." di Excel, cercando il valore che annulla l'espressione d(t), innescando opportunamente il calcolo (p.es. col valore t = (a + b)/2).
Per isolare uno zero di d(t) basta qualche valutazione (se del caso, in Excel).
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NEL CASO IN ESAME
Alcune valutazioni sui "vicini dello zero", nel formato {t, d(t)}, danno
* {{- 3, - 73.83}, {- 2, - 31.05}, {- 1, - 6.241}, {0, 3.0}, {1, - 5.905}, {2, - 23.04}, {3, 253.0}}
dove si notano tre inversioni che isolano tre zeri
* T1 in [- 1, 0], T2 in [0, 1], T3 in [2, 3]
e, se ci fossero solo questi, si potrebbe concludere che:
* per t < T1, f(t) è concava in basso;
* per T1 < t < T2, f(t) è concava in alto;
* per T2 < t < T3, f(t) è concava in basso;
* per t > T3, f(t) è concava in alto.
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Si trovano le approssimazioni
* T1 ~= - 0.537439253
* T2 ~= + 0.612500557
* T3 ~= + 2.393727764
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VERIFICA con altri strumenti
http://www.wolframalpha.com/input/?i=inflection+points+of+%28t-1%29*e%5Et%2F%28t-e%5Et%29%5E2