[Risolto] Studio di funzione

$√(√2x-x-√2)/x+1$
si analizzino i casi separati:

$√2x-x-√2>=0$
$x(√2-1)>=√2$
$x>=√2/√2-1$
si razionalizzi 

$x>=2+√2$

$x>-1$ (senza = perché la frazione sarebbe impossibile)

si raffigurino le due soluzioni nella tabella del segno. Pertanto risulterà:

$x<1$ V $x>=2+√2$

Insieme di definizione in R 

Radicando positivo o nullo. La disequazione è verificata per intervalli esterni a quello delle radici dell'equazione (x+1)× [(rad2 - 1)*x - rad 2] = 0

Quindi:

x< - 1  v  x>= rad 2/[(rad 2 - 1)]

Indifferente studiare il segno di un prodotto o di un quoziente 

La funzione
* f(x) = y = √(((√2 - 1)*x - √2)/(x + 1))
ha
* dominio: l'intero insieme su cui varia la variabile indipendente x (N, N0, Z, Q, R, C)
se x ∈ R allora
* codominio: l'intero piano di Argand-Gauss
* insieme di definizione: R\{- 1} (denominatore non zero)
* insieme immagine: gli assi coordinati del piano di Argand-Gauss
* insieme di definizione reale: (x < - 1) oppure (x >= 2 + √2) (radicando non negativo)
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DETTAGLI
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A) ((√2 - 1)*x - √2)/(x + 1) < 0 ≡ - 1 < x < 2 + √2, y immaginario
B) ((√2 - 1)*x - √2)/(x + 1) = 0 ≡ x = 2 + √2, y nullo
C) ((√2 - 1)*x - √2)/(x + 1) > 0 ≡ (x < - 1) oppure (x > 2 + √2), y reale
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* lim_(x → (- 1)-) f(x) = + ∞
* lim_(x → (- 1)+) f(x) = - ∞
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* (((√2 - 1)*x - √2)/(x + 1) = 0) & (x != 1) ≡
≡ (((√2 - 1)*x - √2) = 0) & (x != 1) ≡
≡ (x = √2/(√2 - 1)) & (x != 1) ≡
≡ x = (√2 + 1)*√2/((√2 + 1)*(√2 - 1)) = (2 + √2)/1