[Risolto] studio di funzione

$ y = \frac{2^x - 3^x}{x+sinx}$

Per il dominio dobbiamo porre:

$ x + sinx \neq 0$

da cui

$ sinx \neq -x$

Questa equazione non si può risolvere analiticamente, ma possiamo notare facendo un semplice grafico che l'unica intersezione tra le funzioni $y=sinx$ e $y=-x$ dev'essere in $x=0$:

Quindi il dominio è $x \neq 0$

 

Passiamo al segno. Studiamo numeratore e denominatore:

Numeratore

$ 2^x - 3^x > 0$

$ 2^x > 3^x$

Passiamo ai logaritmi (uso la base 10 per comodità):

$ log 2^x > log 3^x$

$ x log2 > x log3$

$ log2 > log3$ 

Dato che $log2 = 0.3$ e $log3=0.4$, la disequazione non è mai verificata e dunque il numeratore è sempre negativo.

Denominatore

$ x+ sinx > 0$

$ sinx > -x $

Ritorniamo a guardare il grafico: vediamo subito che il seno si trova al di sopra della bisettrice $y=-x$ per $x>0$. Dunque il denominatore è positivo per $x>0$.

Studiando i segni di numeratore e denominatore, risulta immediato che la funzione è positiva per $x<0$ e negativa per $x>0$:

___0___

---------

-----++

+       -

 

Noemi

PS

Bellissime queste funzioni! E' un esame di Analisi 1?