Stima degli errori, integrali

Question

Considera l'integrale  int _0^1  sin x^2 d x.a. Sia f(x)= sin x^2$; verifica che  left |f^{ prime  prime }(x) right |  leq 6$ per ogni x  in [0,1]$.b. Verifica che, applicando il metodo dei rettangoli all'integrale dato con n suddivisioni dell'intervallo di integrazione, si ottiene un'approssimazione dell'integrale con un errore minore o uguale a  frac {1}{4 n^2}.c. Determina per quali valori di n l'approssimazione di cui al punto precedente è affetta da un errore minore o uguale a un centesimo.$[n  geq 5]$ [attach]114380[/attach] Spiegare gentilmente ragionamenti, passaggi e argomentare.

n_f · Accepted Answer

Calcoliamo la derivata seconda: f(x)= sin x^2$ f'(x)= 2x cos x^2$ f^{(2)}(x) = 2 cos x^2 -4x^2 sin x^2$ Maggioriamo usando la disuguaglianza triangolare e sfruttando il fatto che x in [0,1]$: $|f^{(2)}(x)| = |2 cos x^2 -4x^2 sin x^2|  leq |2 cos x^2| +|4x^2 sin x^2|  leq 2+4 = 6$   Nel metodo dei rettangoli si ha  epsilon  leq h^2 frac {b-a}{24}|f^{(2)}(t)|$ dove: h =  frac {b-a}{n}=  frac {1}{n}  da cui:  epsilon  leq  frac {1}{n^2} frac {1}{24}. 6 =  frac {1}{4n^2} Poniamo dunque:  frac {1}{4n^2}  leq  frac {1}{100} da cui $ 4n^2  geq 100$ $ n^2  geq 25$ $ n geq 5$ Noemi

[Risolto] Stima degli errori, integrali

Domande