Considera l'integrale $\int_{-1}^1 \cos x^2 d x$.
a. Deduci la seguente stima dell'errore nel metodo dei rettangoli (in funzione del numero $n$ di sottointervalli): $\left|E_R\right| \leq \frac{2}{n^2}$ (non è la miglior stima possibile, ma è sufficiente per lo scopo)
b. Trova il numero minimo $n$ di sottointervalli che assicurano un errore minore di $10^{-3}$.
[b. $n=45$ ]
Spiegare gentilmente ragionamenti, passaggi e argomentare.
11881
punti
Livello 2
L'errore commesso con il metodo dei rettangoli è:
$\epsilon = h^2 \frac{b-a}{24}|f^{(2)}(t)|$
dove:
$b-a=1-(-1)=2$
e
$h= \frac{b-a}{n} = \frac{2}{n}$
dunque possiamo riscrivere come:
$\epsilon = \frac{4}{n^2} \frac{2}{24}|f^{(2)}(t)| = \frac{1}{3n^2}|f^{(2)}(t)|$
D'altra parte abbiamo:
$f(x)=\cos x^2$
$f'(x)= -2x \sin x^2$
$f^{(2)}(x) = -2\sin x^2 -4x^2\cos x^2$
da cui
$|f^{(2)}(x)| = |-2\sin x^2 -4x^2\cos x^2| \leq |-2\sin x^2| +|-4x^2\cos x^2| \leq 2+4 = 6$
quindi
$\epsilon = \frac{1}{3n^2}|f^{(2)}(t)| \leq \frac{6}{3n^2} = \frac{2}{n^2}$
Di conseguenza ci basta porre:
$\frac{2}{n^2} < 10^{-3}$
per ricavare che:
$n^2 > \frac{2}{10^{-3}}=2000$
$n > 45$
Noemi
10479
punti
Livello 6
