C'è un piccolo errore in traccia, ovviamente l'integrale è:
$\int_{-\pi/4}^{\pi/4} tan^2 x dx$
Risolviamo l'integrale indefinito:
$\int tan^2 x dx = \int \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} dx$
$\int tan^2 x dx = \int \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} dx=$
$\int\frac{1-\cos^2x}{\cos^2x}dx=$
$\int\left[\frac{1}{\cos^2x}-1\right]dx = \tan x-x +c$
Da cui:
$\int_{-\pi/4}^{\pi/4} tan^2 x dx = \left[\tan x-x\right]_{-\pi/4}^{\pi/4}$
$=\left(1-\frac{\pi}{4}\right)-\left(-1+\frac{\pi}{4}\right)=2-\frac{\pi}{2}=\frac{4-\pi}{2}$
Calcoliamo la derivata seconda:
$f(x)=\tan^2x$
$f'(x)= 2\tan x(1+\tan^2x) = 2\tan x+2\tan^3x$
$f^{(2)}(x)=2(1+\tan^2x)+6\tan^2 x(1+\tan^2x)= 2(1+\tan^2 x)(1+3\tan^2x)$
Considerando che la tangente è crescente in $[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}]$ e che ha valore massimo in $f(\frac{\pi}{4})=1$ possiamo maggiorare come:
$|f^{(2)}(x)|\leq 2(1+1)(1+3)=16$
Ora calcoliamo l'integrale con il metodo dei trapezi:
Formula del metodo dei trapezi:
$\int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{h}{2} \left[ f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + \cdots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n) \right]$
con
$a = -\frac{\pi}{4}$
$b = \frac{\pi}{4}$
$n = 4$
$h = \frac{b - a}{n} = \frac{\frac{\pi}{2}}{4} = \frac{\pi}{8}$
I Punti di suddivisione sono:
$
\begin{aligned}
x_0 &= -\frac{\pi}{4} \\
x_1 &= -\frac{\pi}{8} \\
x_2 &= 0 \\
x_3 &= \frac{\pi}{8} \\
x_4 &= \frac{\pi}{4}
\end{aligned}
$
Calcolo i valori della funzione:
$\begin{aligned}
f(x_0) &= \tan^2\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 1 \\
f(x_1) &= \tan^2\left(-\frac{\pi}{8}\right) = \tan^2\left(\frac{\pi}{8}\right) = (\sqrt{2} - 1)^2 = 3 - 2\sqrt{2} \\
f(x_2) &= \tan^2(0) = 0 \\
f(x_3) &= \tan^2\left(\frac{\pi}{8}\right) = 3 - 2\sqrt{2} \\
f(x_4) &= \tan^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1
\end{aligned}$
Applicazione della formula:
$\begin{align*}
\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \tan^2 x \, dx &\approx \frac{h}{2} \left[ f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4) \right] \\
&= \frac{\pi}{16} \left[ 1 + 2(3 - 2\sqrt{2}) + 0 + 2(3 - 2\sqrt{2}) + 1 \right] \\
&= \frac{\pi}{16} \left[ 1 + 6 - 4\sqrt{2} + 6 - 4\sqrt{2} + 1 \right] \\
&= \frac{\pi}{16} \left[ 14 - 8\sqrt{2} \right]
\end{align*}$
Dunque:
$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \tan^2 x \, dx \approx 0.5271$
L'errore che commettiamo è:
$\epsilon \leq \frac{h^2}{12}(b-a)|f^{(2)}(t)|$
con $h=\frac{b-a}{n}=\frac{\pi}{8}$
da cui:
$\epsilon \leq \frac{\pi^2}{64} \frac{1}{12}\frac{\pi}{2}\cdot 16 = \frac{\pi^3}{96} \approx 0.323$
Dunque abbiamo che:
$ I = \frac{4-\pi}{2} \approx 0.429$
$ I_{trap} = 0.5271$
e
$\epsilon = 0.098$
dunque ci troviamo.
