Solo il punto b, a me esce un'altra base
Sia $\underline{u}=(1,1,1)$ e si consideri il sottoinsieme $S=\left\{\underline{v} \in R ^3 \mid \underline{v} \cdot \underline{u}=0\right\}$.
a) Verificare che $S$ è un sottospazio di $R ^3$.
b) Determinare una base di $S$ e la sua dimensione.
c) Determinare una base ortonormale di $S$.
d) Rappresentare graficamente $S$.
SOLUZIONI: b) Una base di $S$ è, per esempio, $\{(1,-1,0),(1,0,-1)\}$. Quindi $\operatorname{dim} S=2$.
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Livello 1
Facci vedere che base ti esce. magari è giusta. Nota che la soluzione dice "una possibile base è".
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Livello 9
@sebastiano Mi esce { (1,0,-1), (0,1,-1)}, dici che va bene?
Posso anche chiederti un suggerimento per trovare una base ortonormale?
è una base di S, ma non è ortogonale. Ovvero il prodotto scalare dei tuoi due vettori non fa 0.
E se volessi trovare una base ortonormale senza usare gram schmidt che procedimento dovrei seguire?
Allora, innanzitutto per la risposta b) la tua base va bene. questo è la parte importante. per trovare una base ortogonale dovresti inserire delle condizioni aggiuntive, ovvero che i tuoi due vettori devono essere ortogonali al vettore dato ma anche ortogonali fra loro.
detto
$v_1=(a,b,c)$ e $v_2=(d,e,f)$
deve essere (ortogonalità con $u=(1,1,1)$):
$a+b+c=0$
$d+e+f=0$
e inoltre
$ad+be+cf=0$ (ortogonalità fra $v_1$ e $v_2$).
una possibile soluzione è la seguente:
$v_1=(1,-2,1)$
$v_2=(1,0,-1)$
A questo punto se vuoi una base ortonormale, basta che tu trasformi i vettori $v_1$ e $v_2$ in versori, dividendoli per il loro modulo.
