Sia $\mathbb{R}_{3}[t]$ lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale a $3 .$ Dati i sottospazi vettoriali:
$$
\begin{array}{c}
\mathcal{U}=\left\{p(t) \in \mathbb{R}_{3}[t] / p\left(-\frac{1}{2}\right)=p(0)=p(1)=0\right\} \\
\mathcal{V}=\left\{p(t)=a_{0}+a_{1} t+a_{2} t^{2}+a_{3} t^{3} / a_{0}+a_{1}=a_{2}-a_{3}=0\right\}
\end{array}
$$
a) trovare una base per $\mathcal{U}+\mathcal{V}$ e stabilire se la somma dei due sottospazi è diretta;
(2 punti)
b) stabilire per quale valore di $h \in \mathbb{R}$, il vettore $q(t)=1+h t^{2}+t^{3}$ sta in $\mathcal{U}+\mathcal{V}$. Assegnato ad $h$ tale valore, decomporre $q(t)$ come somma di un vettore $q_{1}(t) \in \mathcal{U}$ e di un vettore $q_{2}(t) \in \mathcal{V}$.
(3 punti)
c) Determinare una base per il sottospazio vettoriale $(\mathcal{U}+\mathcal{V})^{\perp},$ complemento ortogonale $\mathrm{di} \mathcal{U}+\mathcal{V}$ rispetto al prodotto scalare standard di $\mathbb{R}_{3}[t]$
(2 punti)
Buongiorno, ho provato a svolgere il punto 1 dell'esercizio ma la soluzione è leggermente diversa ovvero: e U + V = L(1 − t, t^2 + t^3, −t + t^2 + 2t^3). Come mai? Allego anche il mio procedimento. Grazie!
