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[Risolto] Sottospazi vettoriali di polinomi (SOMMA)

  

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Sia $\mathbb{R}_{3}[t]$ lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale a $3 .$ Dati i sottospazi vettoriali:
$$
\begin{array}{c}
\mathcal{U}=\left\{p(t) \in \mathbb{R}_{3}[t] / p\left(-\frac{1}{2}\right)=p(0)=p(1)=0\right\} \\
\mathcal{V}=\left\{p(t)=a_{0}+a_{1} t+a_{2} t^{2}+a_{3} t^{3} / a_{0}+a_{1}=a_{2}-a_{3}=0\right\}
\end{array}
$$
a) trovare una base per $\mathcal{U}+\mathcal{V}$ e stabilire se la somma dei due sottospazi è diretta;
(2 punti)
b) stabilire per quale valore di $h \in \mathbb{R}$, il vettore $q(t)=1+h t^{2}+t^{3}$ sta in $\mathcal{U}+\mathcal{V}$. Assegnato ad $h$ tale valore, decomporre $q(t)$ come somma di un vettore $q_{1}(t) \in \mathcal{U}$ e di un vettore $q_{2}(t) \in \mathcal{V}$.
(3 punti)
c) Determinare una base per il sottospazio vettoriale $(\mathcal{U}+\mathcal{V})^{\perp},$ complemento ortogonale $\mathrm{di} \mathcal{U}+\mathcal{V}$ rispetto al prodotto scalare standard di $\mathbb{R}_{3}[t]$
(2 punti)

Cattura1
Cattura2

Buongiorno, ho provato a svolgere il punto 1 dell'esercizio ma la soluzione è leggermente diversa ovvero: e U + V = L(1 − t, t^2 + t^3, −t + t^2 + 2t^3). Come mai? Allego anche il mio procedimento. Grazie!

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Ho risolto, adottando un differente notazione, il primo punto e sono arrivato alla tua stessa conclusione, a mio avviso nello scrivere il risultato si è scritto un + invece di un + -.

Uso come base di ℝ₃[t] = {t³,t²,t,1}

  • U

U = {p(t)∈ℝ₃[t] | p(-1/2)=p(0)=p(1)=0}

I polinomi di U, per il teorema di Ruffini, sono della forma at(t-1)(t+1/2) 

at(t-1)(t+1/2) = at³-a/2 t²-a/2 t a cui corrisponde il vettore di ℝ₃[t]  a(1,-1/2,-1/2,0)

U = ℒ {(2,-1,-1,0)}

 

  • V

V = ℒ {(1,1,0,0), (0,0,1,1)}

 

  • U+V

Come hai dimostrato i 3 vettori che costituiscono la base sono linearmente indipendenti quindi U ∩ V = {0} cioè la somma è diretta

U⊕V.




2

sei sicura che la soluzione non sia 

$U+V=L(1-t,t^2+t^3,-t-t^2+2t^3)$ ?

Se fosse così la differenza fra la tua soluzione e quella fornita è soltanto un 2, che anche io avrei tolto quando hai trovato $(0,-1/2,-1/2,1)$, facendolo diventare $(0,-1,-1,2)$ che non cambia nulla in relazione allo spazio che tale vettore genera.



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