[Risolto] SOS MATEMATICA

Poiché C è equidistante da A, B il punto appartiene all'asse del segmento AB (retta passante per il punto medio di AB, perpendicolare al segmento) 

Il coefficiente angolare della retta passante per A, B è:

m_AB= - 2 => m_asse= 1/2

Il punto medio di AB ha coordinate M(3;1). L'equazione dell'asse è:

y-1 = (1/2)*(x-3)

Mettendo a sistema l'equazione dell'asse e l'equazione della retta data, cui C appartiene, trovo le coordinate del punto richiesto. 

{y= (1/2)*x-1/2

{2x+3y-5=0

Quindi: C=(13/7 ; 3/7)

Determino il quarto vertice D intersecando l'equazione dell'asse del segmento AB con la retta passante per B e parallela ad AC

m_AC= - 16/3

Quindi il sistema per determinare le coordinate di D è:

{y=(1/2)*x - 1/2

{y+3= (-16/3)*(x-5)

Quindi:

D=(29/7 ; 11/7)

L'area del quadrilatero è:

A= AB*MC = (4/7)*radice (5) * 4*radice (5) = 80/7

RIPASSI
Tutti e soli i punti P(x, y) equidistanti da due dati punti A(a, p) e B(b, q) giacciono sull'asse del segmento AB
* Per p = q: asse(AB) ≡ x = (a + b)/2
* Per p != q: asse(AB) ≡ y = (2*(b - a)*x + a^2 - b^2 + p^2 - q^2)/(2*(p - q))
------------------------------
Tre punti formano triangolo se non sono allineati.
L'area del triangolo che ha i vertici
* A ≡ P1(x1, y1), B ≡ P2(x2, y2), C ≡ P3(x3, y3)
è metà del valore assoluto di una semplice espressione delle coordinate
* S(ABC) = (1/2)*|x1*(y2 - y3) - x2*(y1 - y3) + x3*(y1 - y2)|
Se tre punti sono allineati l'area del triangolo che li ha per vertici è zero.
------------------------------
ESERCIZIO
Tutti e soli i punti P(x, y) equidistanti da due dati punti A(1, 5) e B(5, - 3) giacciono su
* asse(AB) ≡ y = (2*(5 - 1)*x + 1^2 - 5^2 + 5^2 - (- 3)^2)/(2*(5 - (- 3))) ≡
≡ y = (x - 1)/2
---------------
Il punto C, che dev'essere su due rette, si trova alla loro intersezione
* (y = (x - 1)/2) & (2*x + 3*y - 5 = 0) ≡ C(13/7, 3/7)
---------------
Il punto D si ricava dalla proprietà caratteristica del parallelogramma che l'incrocio M delle diagonali le dimezza entrambe
* M = (A + C)/2 = (B + D)/2 ≡
≡ ((1, 5) + (13/7, 3/7))/2 = ((5, - 3) + (x, y))/2 ≡
≡ (10/7, 19/7) = ((x + 5)/2, (y - 3)/2) ≡
≡ ((x + 5)/2 = 10/7) & ((y - 3)/2 = 19/7) ≡
≡ (x = - 15/7) & (y = 59/7) ≡
≡ D(- 15/7, 59/7)
---------------
* S(ABCD) = S(ABC) + S(ACD) = 40/7 + 40/7 = 80/7
---------------
http://www.wolframalpha.com/input?i=polygon%281%2C5%29%285%2C-3%29%2813%2F7%2C3%2F7%29%28-15%2F7%2C59%2F7%29