[Risolto] Sommatorie e induzione

Eccola 

110) Σ [k = 1, n] k*(k + 1) = n*(n + 1)*(n + 2)/3
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Con
* a(k) = k*(k + 1)
* s(n) = Σ [k = 0, n] a(k)
noto anzitutto che
* Σ [k = 1, n] a(k) = s(n) - a(0) = s(n)
in quanto a(0) = 0.
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PASSO BASE: verificato perché
* s(0) = Σ [k = 0, 0] a(k) = 0*(0 + 1)*(0 + 2)/3 = 0
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PASSO INDUTTIVO
Ipotesi: sia vero che s(n) = n*(n + 1)*(n + 2)/3
Tesi: allora è vero che s(n + 1) = (n + 1)*(n + 2)*(n + 3)/3
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Dimostrazione
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Calcolo del primo membro
* s(n + 1) = s(n) + (n + 1)*((n + 1) + 1) =
= s(n) + (n + 1)*(n + 2) =
= n*(n + 1)*(n + 2)/3 + (n + 1)*(n + 2) =
= (n*(n + 1)*(n + 2) + 3*(n + 1)*(n + 2))/3 =
= (n + 3)*(n + 1)*(n + 2)/3
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Confronto col secondo membro
* (n + 1)*(n + 2)*(n + 3)/3 = (n + 3)*(n + 1)*(n + 2)/3
è vero per ogni valore di n.
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QED
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QED
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NOTA PERSONALE
Costringere un responsore a salvare l'immagine e aprirla con un altro programma è, oltre che maleducato, anche assai stupido: tu chiedi "qualcuno mi potrebbe aiutare per favore?" e poi ci propini UNO SFAVORE ROMPISCATOLE? Non ti sarebbe quasi nulla fotografare il solo essercizio d'interesse e poi accertarti che l'allegato non venisse di traverso. Pensaci, per le prossime volte.