[Risolto] Somanda su equazioni di secondo grado parametriche

L'equazione nelle variabili reali k e x, con x incognita e k != 0 parametro, per quest'ultima clausola si può dividere membro a membro per k ottenendo la forma "trinomio quadratico monico = 0".
* k*x^2 + (k + 2)*x + 2 = 0 ≡
≡ p(x) = x^2 + (1 + 2/k)*x + 2/k = 0
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RIPASSO
In generale, il trinomio quadratico monico
* T(x) = x^2 - s*x + p = (x - X1)*(x - X2),
con discriminante
* Δ = s^2 − 4*p
e zeri
* X = (s ± √Δ)/2
cioè
* X1 = (s - √Δ)/2
* X2 = (s + √Δ)/2
ha gli zeri X1 e X2 tali che
* X1 + X2 = s (somma)
* X1 * X2 = p (prodotto)
che sono distinti se il discriminante Δ è non nullo
* complessi coniugati se Δ < 0
* reali se Δ > 0, con X1 < X2.
Se Δ = 0 gli zeri sono reali, ma non distinti: X1 = X2.
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Nel caso in cui i coefficienti (s, p) siano funzioni (s(k), p(k)) di un parametro k, ogni vincolo V(X1, X2) = 0 sugli zeri si traduce, tramite l'espressione X = (s ± √Δ)/2, in due equazioni in k.
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Per
* p(x) = x^2 + (1 + 2/k)*x + 2/k = 0
si ha
* s = - (1 + 2/k)
* p = 2/k
* Δ = s^2 − 4*p = (1 + 2/k)^2 − 4*2/k = (k - 2)^2/k^2
* √Δ = (k - 2)/k = (1 - 2/k)
* X1 = - 1
* X2 = - 2/k
e per le condizioni dei quesiti si ha quanto segue.
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a) (X1 = 0) oppure (X2 = 0) ≡ Falso
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b) X1 * X2 = p > 0 ≡ 2/k > 0 ≡ k > 0
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c) X2 - X1 = 1 ≡ - 2/k - (- 1) = 1 ≡ Falso
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d) (X1)^2 - (X2)^2 + ((X1)^2)*(X2)^2 = 1 ≡
≡ ((X1)^2 - 1)*((X2)^2 + 1) = 0 ≡
≡ ((- 1)^2 - 1)*((- 2/k)^2 + 1) = 0 ≡
≡ (0)*((k^2 + 4)/k^2) = 0 ≡
≡ (0 = 0) oppure ((k^2 + 4)/k^2 = 0) ≡
≡ (Vero per ogni k) oppure (k = ± i*2, contro l'ipotesi k reale) ≡
≡ (Vero per ogni k) oppure (Falso per ogni k reale)
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CONCLUSIONE
Può darsi che io oggi sia più rimbambito del solito, ma è più probabile che questo sia uno dei tanti esercizi pubblicati (e poi assegnati) senza essere stati prima svolti.

@aminelami

Ciao e benvenuta.

Ultimo punto come da tua richiesta

Chiamo α e β le due radici tali che:

α^2 - β^2 + α^2·β^2 - 1 = 0 con α < β

Quindi scompongo in fattori il quadrinomio ed ottengo:

(α + 1)·(α - 1)·(β^2 + 1) = 0

che fornisce: α = -1 ∨ k·1^2 + (k + 2)·1 + 2 = 0

Inserisco il primo valore ed ottengo:

k·(-1)^2 + (k + 2)·(-1) + 2 = 0-----> 0 = 0 qualsiasi valore di k???? NON possibile

per k·1^2 + (k + 2)·1 + 2 = 0----> 2·k + 4 = 0----> k = -2

Verifica

(-2)·x^2 + (-2 + 2)·x + 2 = 0-----> 2 - 2·x^2 = 0

quindi: x = -1 ∨ x = 1

(-1)^2 - 1^2 + (-1)^2·1^2 - 1 = 0

0 = 0 OK!