Soluzione disequazioni fratte

@archimede75

Quale degli esercizi ti interessa? E per quale motivo?

OK. Ti svolgo la 431 e dopo prova un po' anche tu per le altre due.

(5·x - 1)/(x - 3) - 1 ≥ 0

(4·x + 2)/(x - 3) ≥ 0 (la porti alla forma normale)

(2·x + 1)/(x - 3) ≥ 0

N(x)

2·x + 1 ≥ 0-----> x ≥ - 1/2

----------[-1/2]+++++++++++++++++++>x

D(x)

x - 3 > 0------> x > 3

------------------------------(3)++++++++++>x

Segno Rapporto:

++++++[1/2]-------------(3)++++++++++>x

Soluzione:  x ≤ - 1/2 ∨ x > 3

 

 

Svolgo la 439)

Il denominatore della frazione (x² + 1) è una quantità positiva (sempre >=1) 

Se vogliamo che la disequazione risulti verificata dobbiamo imporre la condizione:

 

2x² + 3x - 9 < 0

2x² + 6x - 3x - 9 < 0

(2x - 3)(x + 3) < 0

- 3 < x < 3/2

 

431)

Posto la condizione x≠3 si ricava:

(5x - 1 - x + 3)/(x - 3) >= 0

(4x + 2)/(x - 3) >= 0

 

Studiare il segno di un prodotto o di un quoziente è uguale. 

(4x+2)(x-3) >= 0

 

Coeff termine x² = 4 > 0 ; segno disequazione > 0

Intervallo esterno alle radici: S={ x<= - 1/2  v x>3}

 

Figurati. 

Buona giornata 

 

Tutt'e nove gli esercizi di pag. 262 sono disequazioni razionali in x, con diseguaglianze d'ordine e coefficienti reali, che si possono ricondurre allo stesso schema risolutivo.
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A) Se il secondo membro non è zero allora sottrarlo membro a membro.
Dopo di ciò tutti avranno la forma <espressione><DDO (diseguaglianza d'ordine)><zero>.
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B) Se il primo membro (<espressione>) non è una funzione razionale fratta ridotta ai minimi termini allora fare denominatore comune e dividere numeratore e denominatore per il loro massimo comun divisore.
Dopo di ciò tutti avranno la forma <N(x)/D(x)><DDO><zero>, dove il numeratore N(x) e il denominatore D(x) sono polinomi in x che non hanno divisori comuni.
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C) Porre P(x) = N(x)*D(x) e sostituire l'originaria disequazione razionale fratta con un sistema di due disequazioni razionali intere
* (<P(x)><DDO><zero>) & (D(x) != 0)
dove DDO è quella originaria, mentre la seconda è di diversità (DDD).
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D1) Scomporre P(x) in fattori reali monici:
* uno solo di grado zero, il coefficiente direttore "a";
* per ogni radice R reale semplice o multipla uno di forma (x - R)^m, dove la molteplicità m è positiva.
* per ogni coppia di radici complesse coniugate uno di forma (x^2 - s*x + p)^m.
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D2) Se ne esistono, eliminare da P(x) (riducendolo a p(x)) tutti i fattori che al variare di x mantengono uniforme il segno
* fra quelli di forma (x^2 - s*x + p)^m, tutti;
* fra quelli di forma (x - R)^m, nessuno;
* il coefficiente direttore "a", con una distinzione di casi:
* se a > 0 lo si elimina tout court;
* se a < 0 lo si elimina E SI ROVESCIA LA DISEGUAGLIANZA D'ORDINE.
Dopo di ciò tutti avranno la forma <p(x)><DDO><zero>, dove p(x) è composto di soli fattori lineari ciascuno con la sua molteplicità e dov'è possibile che la DDO non sia l'originaria, ma il suo rovescio.
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E) Per decidere, al variare di x, il segno di p(x) in funzione di quelli dei fattori ci sono tre casi.
E1) p(x) < 0 là dove siano negativi un numero dispari di fattori, e nessuno sia zero.
E2) p(x) < 0 là dove almeno un fattore sia zero.
E3) p(x) < 0 là dove siano negativi un numero pari di fattori, e nessuno sia zero.
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NOTA PERSONALE (per il futuro)
Ammiro assai chi ha la forza di volontà per frequentare un corso serale con la fatica fisica che ciò comporta ed ho conosciuto molti di loro nell'ITIS in cui ho insegnato per quasi quarant'anni e perciò t'avrei volentieri mostrato la risoluzione dei nove esercizi seguendo i passi della procedura che t'ho esposto qui sopra se solo avessi potuto farne Copia/Incolla nel mio editor: ma tu li avevi solo fotografati (che è un di più per cortesia) e non trascritti su tastiera (che è la cosa prescritta dal Regolamento) e io posso fare Copia/Incolla solo del testo battuto su tastiera; perciò non li ho risolti.