[Risolto] Smartphone mania

Le unità di tempo con cui si può fare aritmetica sono: secondo, minuto, ora, giorno, settimana e, nei paesi anglosassoni, fortnight; al di sopra di queste, ciascuno dei 347 calendari noti dice la sua!
Dopo aver dichiarato che "x esprime il tempo in mesi" azzardarsi a chiedere "In quale momento ..." direi che è, quanto meno, ... azzardato!
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Ad ogni buon conto, procedo a testa bassa.
* y = f(x) = 3000*x^2/(9 + x^2)
* f'(x) = 54000*x/(9 + x^2)^2
* f''(x) = 162000*(3 - x^2)/(9 + x^2)^3
* f'''(x) = 648000*x*(x^2 - 9)/(9 + x^2)^4
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Il quesito b chiede il massimo di f'(x) cioè la soluzione di
* (f''(x) = 0) & (f'''(x) < 0) ≡
≡ (x^2 = 3) & (x*(x^2 - 9) < 0) ≡ x = √3 ~= 1.7320508
"momento" che cade certamente nel secondo mese, ma in quale dei suoi giorni?
* (√3 - 1)*28 ~= 20.50 ~= il giorno 22
* (√3 - 1)*29 ~= 21.23 ~= il giorno 23
* (√3 - 1)*30 ~= 21.96 ~= il giorno 23
* (√3 - 1)*31 ~= 22.69 ~= il giorno 24
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Il quesito a si limita a chiedere la rappresentazione grafica di y = f(x), e a ciò provvede egregiamente un qualsiasi software di calcolo simbolico.
Vedi il grafico al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx%3D%E2%88%9A3%2Cy%3D3000%2Cy%3D3000*x%5E2%2F%289--x%5E2%29%5Dx%3D0to8%2Cy%3D0to3050
dove ho marcato anche l'asintoto orizzontale e l'ascissa di massimo aumento.

Ciao!

Per rappresentare graficamente la funzione facciamo lo studio della funzione stessa, $f(x) = \frac{3000 x^2}{9+x^2} $

Dominio: dobbiamo imporre $denominatore \neq 0$, ma il denominatore è sempre positivo, dunque il dominio è $\mathbb{R}$.

Segno: abbiamo già detto che il denominatore è sempre positivo, quindi possiamo escluderlo dal segno perché non sarà rilevante. Notiamo però che anche il numeratore è sempre positivo, dunque la funzione, nel suo complesso, è sempre positiva e si annulla in $x = 0$. 

Massimo: per vedere quando l'aumento delle vendite è massimo dobbiamo calcolare la sua derivata e cercare, attraverso lo studio di questa, i punti stazionari e in particolari i punti di massimo (relativi o assoluti che siano). 

Derivata: Usiamo la derivata della frazione: $(\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x) g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)} $

$ \frac{ 6000x(x^2+9)- (3000 x^2) (2x) }{(9+x^2)^4} = \frac{540000 x }{(x^2+9)^2} $

Il numeratore è sempre positivo, quindi lo studio del segno della derivata è dato soltanto dallo studio del segno del suo numeratore: 
$ 540000 x \geq 0 \Rightarow x \geq 0 $ 

Quindi la funzione è crescente per $x >0$, decrescente per $x < 0$ e si annulla in $ x = 0$, dove però ha un minimo. 

Dobbiamo ricordare però che il nostro dominio varia soltanto tra $[0;8]$, quindi è un intervallo chiuso e limitato. Su di esso, poi, $f(x)$ è continua e derivabile, quindi possiamo usare il Teorema di Weierstrass: una funzione continua su in intervallo [a;b] e derivabile su (a;b) ammette sempre massimo e minimo assoluti in [a;b]. 

Nel nostro caso la funzione non ha massimo interno all'intervallo $[0;8]$, quindi lo avrà necessariamente al bordo, quindi o in $x = 0$ o in $x = 8$. In $ x = 0$, però, ha un minimo! Quindi il massimo che stiamo cercando si avrà in $x = 8$, cioè all'ottavo mese si avrà vendita massima.