[Risolto] Circonferenza

I TRE ESERCIZI DI Giada Giambanco SONO ORRIBILI.
Pensati per illustrare un argomento importante (il circumcerchio) sono poi stati resi più "interessanti" appesantendoli con parafernalia che, mascherando i concetti centrali, indeboliscono l'efficacia dell'esercizio.
---------------
I concetti che gli esercizi sul circumcerchio dovrebbero rafforzare sono i seguenti.
1) La circonferenza Γ è il luogo dei punti equidistanti dal centro C(a, b) e la comune distanza è il raggio r, quindi l'equazione è la relazione pitagorica
* Γ ≡ |CP|^2 = (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
che esprime la distanza (al quadrato) fra P(x, y) e C(a, b).
2) Nell'equazione della circonferenza generica in forma normale standard ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b); determinare Γ equivale a trovare (a, b, q).
3) Per tre punti (A, B, C) passa una e una sola circonferenza: il circumcerchio del loro triangolo ABC; il loro circumcentro è l'unico P(x, y) equidistante da tutt'e tre e il circumraggio R è la comune distanza; scrivere tale definizione dà l'algoritmo per il calcolo
* |PA|^2 = |PB|^2 = |PC|^2 = q = R^2
un sistema di tre equazioni nelle incognite (x, y, q) con la condizione "q > 0".
==============================
FINE DEL MODESTO PARERE PERSONALE.
==============================
Esercizio "Circonferenza" (#1, immagino!)
Trovare il circumcerchio del triangolo ABC date le rette dei lati
* y = 14 - 3*x
* y = x + 2
* x + 3*y = 2 ≡ y = (2 - x)/3
quindi ANCHE TROVARE PRIMA le coordinate dei vertici ABC.
------------------------------
Esercizio "Circonferenza 2"
Trovare il circumcerchio del triangolo ABC dati i vertici
* A(1, 2), B(- 7, 6), C(- 1, 0)
POI TROVARE ANCHE la circonferenza centrata in C e tangente alla retta AB.
------------------------------
Esercizio "Circonferenza 3"
Trovare il circumcerchio del triangolo ABC dati i vertici
* A(0, 2), B(4, - 6), C(6, 0)
ma PRIMA VERIFICARE che ABC sia isoscele e POI TROVARE ANCHE due circonferenze centrate in C: una per A e B e l'altra tangente alla retta AB.
==============================
RISOLUZIONI
------------------------------
"Circonferenza 1"
* (y = x + 2) & (y = (2 - x)/3) ≡ A(- 1, 1)
* (y = 14 - 3*x) & (y = (2 - x)/3) ≡ B(5, - 1)
* (y = 14 - 3*x) & (y = x + 2) ≡ C(3, 5)
------------------------------
CIRCUMCERCHI
* |PA|^2 = |PB|^2 = |PC|^2 = q = R^2 ≡
≡ (x - xA)^2 + (y - yA)^2 = (x - xB)^2 + (y - yB)^2 = (x - xC)^2 + (y - yC)^2 = q ≡
≡ ((x - xA)^2 + (y - yA)^2 = (x - xB)^2 + (y - yB)^2) &
& ((x - xB)^2 + (y - yB)^2 = (x - xC)^2 + (y - yC)^2) &
& (q = (x - xC)^2 + (y - yC)^2) ≡
≡ (x, y, q) = (, , )
---------------
"Circonferenza 1": A(- 1, 1), B(5, - 1), C(3, 5)
* ((x + 1)^2 + (y - 1)^2 = (x - 5)^2 + (y + 1)^2) &
& ((x - 5)^2 + (y + 1)^2 = (x - 3)^2 + (y - 5)^2) &
& (q = (x - 3)^2 + (y - 5)^2) ≡
≡ (x, y, q) = (5/2, 3/2, 25/2)
* Γ ≡ (x - 5/2)^2 + (y - 3/2)^2 = 25/2
Verifica
http://www.wolframalpha.com/input/?i=triangle%28-+1%2C+1%29%283%2C+5%29%285%2C+-+1%29circumcircle
---------------
"Circonferenza 2": A(1, 2), B(- 7, 6), C(- 1, 0)
In completa analogia con "Circonferenza 1"
* Γ ≡ (x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 20
---------------
"Circonferenza 3": A(0, 2), B(4, - 6), C(6, 0)
In completa analogia con "Circonferenza 1"
* Γ ≡ (x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 20
==============================
PARAFERNALIA
------------------------------
"Circonferenza 1": già fatto!
---------------
"Circonferenza 2": A(1, 2), B(- 7, 6), C(- 1, 0)
* retta AB ≡ t ≡ y = (5 - x)/2
* distanza |Ct| = 6/√5
La circonferenza centrata in C e tangente alla retta AB risulta
* Γ ≡ |CP|^2 = (x + 1)^2 + y^2 = 36/5
---------------
"Circonferenza 3": A(0, 2), B(4, - 6), C(6, 0)
* retta AB ≡ t ≡ y = 2*(1 - x)
* distanza |Ct| = 2*√5
* distanza |CA| = 2*√10
* distanza |CB| = 2*√10
Che ABC sia isoscele è vero.
La circonferenza centrata in C per A e B risulta
* Γ ≡ (x - 6)^2 + y^2 = 40
La circonferenza centrata in C e tangente alla retta AB risulta
* Γ ≡ (x - 6)^2 + y^2 = 20
==============================
MI SCUSO SE TI HO ANNOIATO.

Ciao Giada,

Come prima cosa troviamo i punti di intersezione per ciascun vertice: devi mettere a sistema ciascuna retta (prima e seconda, seconda e terza, prima e terza). Io ho risolto i sistemi col metodo di sostituzione.

Adesso, devi fare un sistema a tre incognite con la formula generale dell'equazione della circonferenza, che ricordo essere $x^2+y^2+ax+bx+c=0$, e poi sostituire per x e y le coordinate dei punti trovati.