[Risolto] Circonferenza 2

Ciao!

CIRCONFERENZA CON RETTA TANGENTE

Dato che la circonferenza ha centro in $ C = (-1; 0)$ ed è tangente alla retta $AB$, sappiamo che la distanza tra il centro e la retta tangente è uguale al raggio. 

Conoscendo il raggio e il centro, poi, è facilissimo trovare l'equazione della retta che stiamo cercando! Quindi calcoliamo questa distanza.

Per prima cosa calcoliamo la retta che passa per i punti $A =(1;2)$ e $B = (-7;6)$ usando la formula: 

$ \frac{y-y_A}{x-x_A} = \frac{y_A-y_B}{x_A-x_B} $

$\frac{y-2}{x-1} = \frac{ 2-6}{1-(-7)} $

$\frac{y-2}{x-1} = \frac{ -4}{1+7} $

$\frac{y-2}{x-1} = \frac{ 4}{8} $

$\frac{y-2}{x-1} = -\frac12$

$y-2 = -\frac12 (x-1) $

$ y = -\frac12 x +\frac12 +2 $

$ y = -\frac12 x +\frac52 $

cioè $ 2y = -x +5 $

Mettiamola ora in forma implicita per poter usare la formula della distanza punto-retta:

$2y+x-5 = 0 $

e usiamo la formula della distanza punta retta con il punto $C$:

$d = \frac{ | a y_C+b x_C + c|}{ \sqrt{a^2+b^2} $

dove $ a =$ coefficiente della $y$ della retta, $b = $coefficiente della $x$ della retta, $c = $ coefficiente della retta che non ha la variabile. Quindi

$d = \frac{ | 2\cdot 0+1 \cdot (-1) -5| }{\sqrt{ 2^2 + 1^2} }= \frac{ |-6| }{\sqrt{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} $

quindi il raggio vale: $ r = \frac{6}{\sqrt{5}} $

Sapendo il centro $ C = (-1; 0)$ e il raggio $ r = \frac{6}{\sqrt{5}} $ possiamo calcolare la circonferenza con la formula generica:

$(x-x_C)^2+(y-y_C)^2 = r^2 $

$(x-(-1))^2 + (y-0)^2 = (\frac{6}{\sqrt{5}} )^2 $

$(x+1)^2 + y^2 = \frac{36}{5}  $

$x^2 + 2x + 1 + y^2 - \frac{36}{5} = 0 $

$5x^2+5y^2 +10 x -31= 0 $

 

CIRCONFERENZA CIRCOSCRITTA 

Notiamo che il triangolo è rettangolo: il coefficiente angolare del lato $BC$ è 

$m_{BC} = \frac{y_B-y_C}{x_B-x_C} = \frac{6-0}{-7+1} = -1 $

mentre quello del lato $AC $ è $m_{AC} = \frac{y_A-y_C}{x_A-x_C} = frac{2-0}{1+1} = 1 $

quindi i due lati sono perpendicolari e formano un angolo retto tra loro, dunque il triangolo è rettangolo.

In un triangolo rettangolo inscritto in una circonfenreza (cioè la circonferenza è circoscritta al triangolo) l'ipotenusa rappresenta il diametro: la sua metà è il raggio e il suo punto medio è il centro.

Dato che il lato BC e AC sono i cateti, il lato AB sarà l'ipotenusa. Calcoliamone la lunghezza calcolando la distanza tra il punto A e il punto B :

$AB = \sqrt{ (x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2} = \sqrt{(1+7)^2+(2-6)^2} = \sqrt{64+16} = \sqrt{80} =$

la sua metà, che è il raggio, è $ r = \sqrt{20} $

Calcoliamo il punto medio del lato AB, che sarà il centro della circonferenza:

$M = (\frac{x_A+x_B}{2}; \frac{y_A+y_B}{2}) = (\frac{1-7}{2}; \frac{2+6}{2}) = (-3; 4) $

La circonferenza che stiamo cercando quindi è:

$(x-x_M)^2+(y-y_M)^2 = r^2 $

$(x-(-3))^2 + (y-4)^2 = (\sqrt{20} )^2 $

$(x+3)^2 + (y-4)^2 = 20  $

$x^2 + 6x+9 + y^2+16-8x - 20 = 0 $

$x^2+y^2+6x-8y +5= 0 $

 

I TRE ESERCIZI DI Giada Giambanco SONO ORRIBILI.
Pensati per illustrare un argomento importante (il circumcerchio) sono poi stati resi più "interessanti" appesantendoli con parafernalia che, mascherando i concetti centrali, indeboliscono l'efficacia dell'esercizio.
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I concetti che gli esercizi sul circumcerchio dovrebbero rafforzare sono i seguenti.
1) La circonferenza Γ è il luogo dei punti equidistanti dal centro C(a, b) e la comune distanza è il raggio r, quindi l'equazione è la relazione pitagorica
* Γ ≡ |CP|^2 = (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
che esprime la distanza (al quadrato) fra P(x, y) e C(a, b).
2) Nell'equazione della circonferenza generica in forma normale standard ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b); determinare Γ equivale a trovare (a, b, q).
3) Per tre punti (A, B, C) passa una e una sola circonferenza: il circumcerchio del loro triangolo ABC; il loro circumcentro è l'unico P(x, y) equidistante da tutt'e tre e il circumraggio R è la comune distanza; scrivere tale definizione dà l'algoritmo per il calcolo
* |PA|^2 = |PB|^2 = |PC|^2 = q = R^2
un sistema di tre equazioni nelle incognite (x, y, q) con la condizione "q > 0".
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FINE DEL MODESTO PARERE PERSONALE.
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Esercizio "Circonferenza" (#1, immagino!)
Trovare il circumcerchio del triangolo ABC date le rette dei lati
* y = 14 - 3*x
* y = x + 2
* x + 3*y = 2 ≡ y = (2 - x)/3
quindi ANCHE TROVARE PRIMA le coordinate dei vertici ABC.
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Esercizio "Circonferenza 2"
Trovare il circumcerchio del triangolo ABC dati i vertici
* A(1, 2), B(- 7, 6), C(- 1, 0)
POI TROVARE ANCHE la circonferenza centrata in C e tangente alla retta AB.
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Esercizio "Circonferenza 3"
Trovare il circumcerchio del triangolo ABC dati i vertici
* A(0, 2), B(4, - 6), C(6, 0)
ma PRIMA VERIFICARE che ABC sia isoscele e POI TROVARE ANCHE due circonferenze centrate in C: una per A e B e l'altra tangente alla retta AB.
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RISOLUZIONI
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"Circonferenza 1"
* (y = x + 2) & (y = (2 - x)/3) ≡ A(- 1, 1)
* (y = 14 - 3*x) & (y = (2 - x)/3) ≡ B(5, - 1)
* (y = 14 - 3*x) & (y = x + 2) ≡ C(3, 5)
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CIRCUMCERCHI
* |PA|^2 = |PB|^2 = |PC|^2 = q = R^2 ≡
≡ (x - xA)^2 + (y - yA)^2 = (x - xB)^2 + (y - yB)^2 = (x - xC)^2 + (y - yC)^2 = q ≡
≡ ((x - xA)^2 + (y - yA)^2 = (x - xB)^2 + (y - yB)^2) &
& ((x - xB)^2 + (y - yB)^2 = (x - xC)^2 + (y - yC)^2) &
& (q = (x - xC)^2 + (y - yC)^2) ≡
≡ (x, y, q) = (, , )
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"Circonferenza 1": A(- 1, 1), B(5, - 1), C(3, 5)
* ((x + 1)^2 + (y - 1)^2 = (x - 5)^2 + (y + 1)^2) &
& ((x - 5)^2 + (y + 1)^2 = (x - 3)^2 + (y - 5)^2) &
& (q = (x - 3)^2 + (y - 5)^2) ≡
≡ (x, y, q) = (5/2, 3/2, 25/2)
* Γ ≡ (x - 5/2)^2 + (y - 3/2)^2 = 25/2
Verifica
http://www.wolframalpha.com/input/?i=triangle%28-+1%2C+1%29%283%2C+5%29%285%2C+-+1%29circumcircle
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"Circonferenza 2": A(1, 2), B(- 7, 6), C(- 1, 0)
In completa analogia con "Circonferenza 1"
* Γ ≡ (x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 20
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"Circonferenza 3": A(0, 2), B(4, - 6), C(6, 0)
In completa analogia con "Circonferenza 1"
* Γ ≡ (x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 20
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PARAFERNALIA
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"Circonferenza 1": già fatto!
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"Circonferenza 2": A(1, 2), B(- 7, 6), C(- 1, 0)
* retta AB ≡ t ≡ y = (5 - x)/2
* distanza |Ct| = 6/√5
La circonferenza centrata in C e tangente alla retta AB risulta
* Γ ≡ |CP|^2 = (x + 1)^2 + y^2 = 36/5
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"Circonferenza 3": A(0, 2), B(4, - 6), C(6, 0)
* retta AB ≡ t ≡ y = 2*(1 - x)
* distanza |Ct| = 2*√5
* distanza |CA| = 2*√10
* distanza |CB| = 2*√10
Che ABC sia isoscele è vero.
La circonferenza centrata in C per A e B risulta
* Γ ≡ (x - 6)^2 + y^2 = 40
La circonferenza centrata in C e tangente alla retta AB risulta
* Γ ≡ (x - 6)^2 + y^2 = 20
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MI SCUSO SE TI HO ANNOIATO.