[Risolto] Studio di funzione, tralasciando la derivata seconda

IN LINEA DI MASSIMA "tralasciare la derivata seconda" PROVOCA L'IMPOSSIBILITA' DI DISTINGUERE MINIMI, MASSIMI E FLESSI: mo vedo che si può fare tralasciandola.
La funzione
* q(t) = 10000*t/(e^t + 100)
rientra nella categoria di quelle che girano in questi giorni come modello di epidemia
* y = a*t^k/(e^t + b)
che partono da zero, raggiungono un unico massimo e decadono mollemente a zero.
Quindi, in assenza di minimi e di flessi orizzontali, per trovare il massimo basta la derivata prima.
Nel caso delle fragole si ha
* q'(t) = dq/dt = - 10000*(t*e^t - e^t - 100)/(e^t + 100)^2
con il massimo all'istante T in cui
* T*e^T - e^T - 100 = 0 ≡ e^T = 100/(T - 1)
e la raccolta vale
* q(T) = 10000*T/(e^T + 100)
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L'equazione
* e^x = 100/(x - 1)
fa parte della vasta categoria di equazioni pseudo esponenziali/logaritmiche la cui soluzione non si esprime in funzioni elementari, ma richiede o il ricorso a metodi numerici anziché simbolici o, in termini simbolici, la funzione W(z) di Lambert (definita da: W(z) = la soluzione w dell'equazione z = w*e^w).
Vale a dire che la x NON si isola, come in tutte le equazioni in cui compare sia come potenza ("100/(x - 1)") che come argomento di funzioni trascendenti ("e^x").
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Le soluzioni dell'equazione
* e^x = 100/(x - 1)
sono le ascisse delle intersezioni fra le curve:
A) y = e^x, l'esponenziale, positiva e crescente ovunque;
B) y = 100/(x - 1), l'iperbole equilatera, positiva e decrescente per x > 1.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3De%5Ex%2Cy%3D100%2F%28x-1%29%5Dx%3D1to9%2Cy%3D0to99
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CONCLUSIONI
* e^T = 100/(T - 1) ≡ T = 1 + W(100/e) ~= 3.64
* q(T) = 10000*(1 + W(100/e))/(e^(1 + W(100/e)) + 100) =
= 100*W(100/e) ~= 263.593 kg
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Circa "il giorno di massima raccolta", le frazioni di settimana valgono
* {1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7, 7/7} =
= {0.142857, 0.285714, 0.428571, 0.571429, 0.714286, 0.857143, 1}
quindi
* T ~= 3.64
cade nel quinto giorno della quarta settimana.

Ciao!

$q(t) = \frac{10000 t}{e^t+100}$

Studiamo la funzione:

Dominio: la funzione fratta ha come dominio $denominatore \neq 0$, ma $e^t$ è sempre positivo, dunque $e^t + 100$ è sicuramente positivo e quindi diverso da zero. Dunque il dominio è tutto $\mathbb{R}$.

Segno: per studiare il segno della funzione studiamo $q(t) \geq 0 $. Lo studio di una funzione fratta può avvenire mediante lo studio separato di numeratore e denominatore, quindi:
$N \geq 0  \Rightarrow 10000 t \geq 0 \Rightarrow t \geq 0 $

$D > 0 \Rightarrow e^t+100 > 0 $ che abbiamo detto essere valido $\forall t \in \mathbb{R}$

Il segno quindi è dato solo dal numeratore, da cui: la funzione è positiva per $t > 0$, quindi nell'intervallo $ (0; +\infty)$, è nulla in $t = 0$, è negativa per $ t < 0$ quindi nell'intervallo $ (-\infty; 0)$.

Derivata: calcoliamo la derivata prima con la regola della frazione, cioè $(\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{ f'(x)\cdot g(x)-f(x) \cdot g'(x)}{g^2(x)} $, quindi:

$ \frac{ 10000(e^t + 100) - (10000 t )(e^t)}{(e^{t}+100)^2} = \frac{10000 e^t + 1000000-10000t e^t}{(e^{t}+100)^2} $

Studiamone il segno: il denominatore è sempre positivo, dunque possiamo trascurarne il segno.

Al denominatore possiamo semplificare $10000$, ottenendo: $e^t + 100 -t e^t $.

Studiamo meglio questa funzione, che chiamiamo $h(x)$:

$\lim_{x \rightarrow +\infty} h(x) = - \infty $

$\lim_{x \rightarrow +\infty} h(x) = 100 $ quindi ha sicuramente un cambio di segno, cioè esiste un punto in cui $h (x) = 0$, da cui esiste un punto stazionario per $q(t)$.

Graficamente possiamo vedere che questo punto si trova all'incirca tra $3$ e $4$. Quindi il punto di massima raccolta, che è rappresentato dal massimo della funzione, cade nella terza settimana.