Considera il fascio di circonferenze:
$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+kx-2\left( k-3 \right)y+4k-16=0\quad .$$
a) Determina l’asse radicale e i punti base $A$ e $B$ ($A$ è quello di ascissa minore).
b) Sia $C$ il centro della generica circonferenza e O l’origine degli assi. Calcola:
$$\underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{CO}{CB}\quad \quad \underset{k\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{CO}{CB}\quad$$ .
23
punti
Livello 0
* x^2 + y^2 + k*x - 2*(k - 3)*y + 4*k - 16 = 0 ≡
≡ x^2 + k*x + y^2 - 2*(k - 3)*y + 4*(k - 4) = 0 ≡
≡ (x + k/2)^2 - (k/2)^2 + (y - (k - 3))^2 - (k - 3)^2 + 4*(k - 4) = 0 ≡
≡ (x + k/2)^2 + (y - (k - 3))^2 = (5/4)*(k^2 - 8*k + 20)
da cui
* raggio: r(k) = √((5/4)*(k^2 - 8*k + 20))
* centro: C(- k/2, k - 3)
* asse centrale: y = - 2*x - 3
------------------------------
* x^2 + y^2 + k*x - 2*(k - 3)*y + 4*k - 16 = 0 ≡
≡ (x^2 + y^2 + 6*y - 16) + k*(x - 2*y + 4) = 0 ≡
≡ (x^2 + (y + 3)^2 - 5^2) + k*(x - 2*y + 4) = 0
* (x^2 + (y + 3)^2 = 5^2) & (y = x/2 + 2) ≡
≡ A(- 4, 0) oppure B(0, 2)
* asse radicale: AB ≡ y = - 2*x - 3
------------------------------
* |CO| = √((5/4)*k^2 - 6*k + 9)
* |CB| = √(k^2/4 + (k - 5)^2)
* |CO|/|CB| = √(((5/4)*k^2 - 6*k + 9)/(k^2/4 + (k - 5)^2)) =
= √((5*k^2 - 24*k + 36)/(5*(k^2 - 8*k + 20)))
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* lim_(k → ± ∞) |CO|/|CB| = 1
* lim_(k → 0) |CO|/|CB| = 3/5
52250
punti
Genius I
