[Risolto] Sistemi lineari

Ciao!

Primo sistema:

$\begin{cases} \frac{2}{3} y + \frac{1}{2} x = \frac{3-y}{3} \\ \frac{x}{3}+y = \frac{7}{3} +2x-\frac{2y+2x}{6} \end{cases} $

Dobbiamo usare il metodo di sostituzione.

Questo metodo consiste nell'esprimere una delle due equazioni rispetto a una variabile (ad esempio riuscire a scrivere $y = ...$) e sostituire quel valore nell'altra equazione, in modo da eliminare quella variabile ottenendo un'equazione espressa in una sola variabile (che sappiamo risolvere!)

Nota: non necessariamente bisogna ottenere $y = ...$. Se in una delle due equazioni troviamo $3y$ e riusciamo a esprimere l'altro mediante $ 3y = ....$ va bene lo stesso! Basta identificare due termini nelle due equazioni.

Nel nostro caso, per semplificare i conti, facciamo prima un mcm e liberiamoci del denominatore: $\begin{cases} \frac{ 4y + 3x}{6} = \frac{ 6-2y}{6} \\ \frac{ 2x+6y}{6} = \frac{14+12x-2y-2x}{6} \end{cases} $ $\begin{cases}  4y + 3x=  6-2y \\ 2x+6y= 14+12x-2y-2x \end{cases} $

Facciamo qualche conto:

$\begin{cases}  6y + 3x=  6 \\ -8x+8y= 14 \end{cases} $

Dalla prima equazione, esprimiamo $x$:

$\begin{cases}   x= -2y+2 \\ -8x+8y= 14 \end{cases} $

sostituiamo nella seconda: 

$\begin{cases}   x= -2y+2\\ -8(-2y+2)+8y= 14 \end{cases} $

Risolviamo la seconda equazione:

$-8(-2y+2)+8y= 14 $ $16y -16+8y = 14 $ $24y = 16+14$ $24y = 30\rightarrow y = \frac{30}{24} = \frac{5}{4}$

Allora, utilizzando nuovamente la prima equazione:

$x =-2y+ 2 = -2 \cdot \frac{5}{4} + 2 =-\frac{1}{2} $

Secondo sistema: 

$\begin{cases}  6y+3x +5 =8 \\ \frac{1}{3} x+7y+4 = -2 \end{cases} $ $\begin{cases}  6y+3x  =3 \\ \frac{1}{3} x+7y = -6 \end{cases} $

Il metodo di riduzione prevede di fare una specie di "sottrazione/somma in colonna" termine a termine tra le due equazioni (quindi le $x$ con le $x$, le $y$ con le $y$ e i termini noti tra loro).  Per riuscire a risolvere un sistema con questo metodo, bisogna che nelle due equazioni una incognita abbia lo stesso coefficiente!  Nel nostro caso questo non + vero, ma possiamo far diventare $\frac{1}{3} x \rightarrow 3x $ moltiplicando $\frac{1}{3} x$ per $9$.

In questo modo le $x$ delle due equazioni verrebbero uguali.  Per poter ottenenre questo risultato, però, dobbiamo moltiplicare tutti i termini della seconda equazione per il numero che vogliamo, cioè per $9$. 

Procediamo! Moltiplichiamo i termini della seconda equazione per $9$:

$\begin{cases}  6y+3x  =3 \\ 9 \cdot \frac{1}{3} x+9\cdot 7y = -6 \cdot 9  \end{cases} $ $\begin{cases}  6y+3x  =3 \\ 3 x+63y = -54  \end{cases} $

Ora che le $x$ sono uguali, facciamo ogni termine della prima equazione MENO ogni termine della seconda, creando una nuova equazione che ha solo la y come incognita: $(3x-3x) + (6y-63y) = ( 3 - (-54))$ (Ho messo le parentesi per ogni incognita per mettere in evidenza le varie operazioni). Otteniamo $ 0 -57 y = 54+3 $  $ y = - \frac{57}{57}  \rightarrow y = -1$

A questo punto possiamo sostituire $ y = -1$ in una delle due equazioni per trovare il valore della $x$. Sostituiamolo, per esempio, nella prima:

$ 6 (-1) + 3x = 3 $ $3x - 6 = 3 $ $ 3x = 9 $  $x = 3$  

Terzo sistema $\begin{cases} x+5y = 1 \\ 2x +10 y = 0 \end{cases} $

Usiamo il metodo di sostituzione, esplicitando la $x$ nella prima equazione:

$\begin{cases} x = 1-5y \\ 2 x + 10 y = 0 \end{cases} $ $\begin{cases} x = 1-5y \\ 2 (1-5y) + 10 y = 0 \end{cases} $ $\begin{cases} x = 1-5y \\ 2-10y+ 10 y = 0 \end{cases} $

L'ultima equazione è: $ 2 + 0 y = 0 $ cioè $ 2 = 0$ questa uguaglianza è impossibile! Allora è impossibile l'intero sistema, ovvero non esistono valori di $x$ e $y$ che soddisfano contemporaneamente le due equazioni in esame. Quarto sistema $\begin{cases} 2x-3y = 4 \\ 4x-6y = 8 \end{cases} $

Usiamo il metodo di riduzione moltiplicando la prima equazione per $2$:

$\begin{cases} 4x-6y = 8\\ 4x-6y = 8 \end{cases} $ facciamo la sottrazione tra le due equazioni: $ 0 x + 0 y = 0 $ cioè $ 0 = 0$ che è un'espressione sempre vera, a prescindere dai valori di $x$ e $y$. Questa condizione si esprime con il termine indeterminata, poichè non è possibile determinare dei valori di $x$ e $y$ che soddisfano il sistema, perché vanno bene tutti!

Ciao,

1)

$\begin{cases}\frac{2}{3}y+\frac{1}{2}x=\frac{3-y}{3}\\ \frac{x}{3}+y=\frac{7}{3}+2x-\frac{2y+2x}{6}\end{cases}$

 

Riduciamo ogni equazione allo stesso denominatore e poi lo eliminiamo.

Eseguiamo  quindi i passaggi algebrici per ridurre il sistema in forma normale.

 

$\begin{cases}\frac{4y+3x}{6}=\frac{2(3-y)}{6}\\ \frac{2x+6y}{6}=\frac{14+12x-(2y+2x)}{6}\end{cases}$

$\begin{cases}4y+3x=6-y\\ 2x+6y=14+12x-2y-2x\end{cases}$

$\begin{cases}3x+4y+y=6\\ 2x+6y+2x+2y-12x=14 \end{cases}$

$\begin{cases}3x+5y=6\\ -8x+8y=14 \end{cases}$

 

Scegliamo di ricavare l'incognita x dalla prima equazione:

$x=\frac{6-6y}{3}=\frac{3(2-2y)}{3}=2-2y$

 

Sostituiamo l’espressione della x nella seconda equazione, ottenendo il sistema

$\begin{cases}x=2-2y\\ -8(2-2y)+8y=14 \end{cases}$

 

Eseguendo i passaggi algebrici, risolviamo la seconda equazione rispetto all’incognita y

$-8(2-2y)+8y=14 $

$-16+16y+8y=14$

$24y=14+16$

$24y=30$

$y=\frac{30}{24}=\frac{5}{4}$

 

Il sistema è quindi

$\begin{cases}x=2-2y\\ y= \frac{5}{4} \end{cases}$

 

 

Sostituiamo il valore$y= \frac{5}{4}$ nella prima equazione e troviamo il valore di x

 

$\begin{cases}x=2-2\cdot\left(\frac{5}{4}\right)\\ y= \frac{5}{4} \end{cases}$$\rightarrow$$\begin{cases}x=2-\left(\frac{5}{2}\right)\\ y= \frac{5}{4} \end{cases}$$\rightarrow$$\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\\ y= \frac{5}{4} \end{cases}$

 

 

La soluzione del sistema è dunque

$\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\\ y= \frac{5}{4} \end{cases}$

 

2)

$\begin{cases}6y+3x+5 = 8\\ \frac{1}{3}x+7y+4=-2\end{cases}$

 

Riduciamo il sistema in forma normale:

 

$\begin{cases}3x+6y= 8-5\\ \frac{x+21y+12}{3}=\frac{-6}{3}\end{cases}$

$\begin{cases}3x+6y= 3\\ x+21y+12=-6\end{cases}$

$\begin{cases}3x+6y= 3\\ x+21y=-6-12\end{cases}$

$\begin{cases}3x+6y= 3\\ x+21y=-18\end{cases}$

 

Scegliamo di ricavare l'incognita x dalla seconda equazione:

$x=-21y-18 $

 

Sostituiamo l’espressione della x nella prima equazione, ottenendo il sistema

$\begin{cases}3(-21y-18)+6y= 3\\ x=-21y -18\end{cases}$

 

Eseguendo i passaggi algebrici, risolviamo la prima equazione rispetto all’incognita y:

$3(-21y-18)+6y= 3$

$-63y-54+6y=3$

$-57y=3+54$

$-57y=57$

$y=-1$

 

Il sistema è quindi

$\begin{cases}y=-1\\ x=-21y-18 \end{cases}$

Sostituiamo il valore $y= -1$ nella seconda equazione e troviamo il valore di x

$\begin{cases}y=-1\\ x=-21y-18 \end{cases}$ $\rightarrow$ $\begin{cases}y=-1\\ x=21-18 \end{cases} $

$\rightarrow$ $\begin{cases}y=-1\\ x=3 \end{cases} $

La soluzione del sistema è dunque

$\begin{cases}x=3 \\ y= -1\end{cases}$

 

saluti 🙂