Sistemi lineari

Inizio spiegando il criterio dei rapporti:

Se un sistema a due incognite con due equazioni nella forma:

$\begin{cases} ax+by+c=0 \\ a'x+b'y+c'=0 \end{cases}$

ha i parametri $a,\ b,\ c,\ a',\ b',\ c'$, in modo tale che

$\frac{a}{a'} \neq \frac{b}{b'}$ il sistema è determinato.

Se $\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}$ il sistema è indeterminato.

Mentre se $\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} \neq \frac{c}{c'}$ il sistema è impossibile. 

a.

$\begin{cases}6x+y = 8 \\ 3x + \frac{1}{2} y = 4 \end{cases}$

$a=6,\ b=1,\ c=8,\ a'=3,\ b'=\frac{1}{2},\ c'=4$

Verifichiamo che 

$\frac{6}{3}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=\frac{8}{4}$

$2=2=2$ 

Quindi il sistema è indeterminato

b.

$\begin{cases} -8x -6y =1 \\ 4x + 3y = 1 \end{cases}$

$a=-8,\ b=-6,\ c=-1,\ a'=4,\ b'=3,\ c'=-1$

Notiamo che $\frac{-8}{4} = \frac{-6}{3}=-2$ però $\frac{1}{1}=1$, quindi le rette sono parallele ma distinte, allora il sistema è impossibile.

c.

$\begin{cases} 3x-2y =4 \\ y= x+1 \end{cases}$

$a=3,\ b=-2,\ c=-4,\ a'=1,\ b'=-1,\ c'=1$

Notiamo immediatamente che 

$\frac{3}{1}=3 \neq \frac{-2}{-1}=2$

Quindi le rette non sono parallele, allora il sistema è determinato.

Un grafico dei sistemi:

(in verde b., in rosso c., in nero a.)