Sistemi lineari

a.

Vero, normalmente un sistema di equazioni determinato a due incognite ha anche due equazioni, ma se dovesse averne di più allora avrà necessariamente anche equazioni equivalenti alle prime (per far sì che il sistema abbia la stessa soluzione, quindi le rette sono parallele e coincidenti alle prime).

b.

Falso, ogni sistema di due equazioni lineari determinato ha un solo punto come soluzione, se il sistema è indeterminato la soluzione è una retta (quindi infiniti punti!), se il sistema è impossibile l'insieme di soluzioni è l'insieme vuoto $\emptyset$.

c.

Vero, sostituendo $(x,y)=(1,1)$ entrambe le equazioni sono soddisfatte.

d.

Vero, se un sistema ha almeno 3 soluzioni ne ha infinite, ma anche per almeno due soluzioni (vedi 2.)

e.

Falso, il sistema è impossibile perché $\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} \neq \frac{c}{c'}$, quindi le due equazioni non sono equivalenti, ma rappresentano rette parallele (che saranno dunque distinte e non avranno un punto di intersezione).

f.

Falso, il sistema ha grado 6, perché la prima equazione ha grado 2, perché il termine di grado massimo è $xy$ con grado $1+1=2$, mentre la seconda ha grado 3, dato che il termine di grado massimo è $x^2y$ con grado $2+1=3$. Sapendo che il grado del sistema è il prodotto dei gradi delle sue equazioni, il sistema ha grado $g=2 \times 3 = 6$.

g.

Vero, se $a=1$ il coefficiente di entrambe le $y$ si azzera, quindi le rette saranno parallele all'asse $y$, però notiamo che $\frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} \neq \frac{-1}{-1}=1$, quindi le rette sono parallele e distinte.

h.

Falso, due numeri reali sono opposti si può formalizzare come $y=-x \implies x+y=0$, ma l'equazione del sistema è $x-y=0 \implies x=y$, quindi due numeri reali sono uguali.