[Risolto] SIstemi Letterali

Indichiamo con:

• A la matrice dei coefficienti 
• A' la matrice completa (A unita la colonna dei termini noti)
• r(M) il rango delle matrice M

Sappiamo inoltre che 

• r(A) ≤ r(A') 
• se r(A) ≠ r(A') allora il sistema è impossibile, ovvero nessuna soluzione. (Teorema di Rouché Capelli)
• se r(A) = r(A') si possono verificare due casi:

1. 1. det A = 0 il sistema è indeterminato (cioè infinite soluzioni)
   2. det A ≠ 0 il sistema è determinato, cioè ammette un numero finito di soluzioni; nel caso di sistemi lineari la soluzione è unica.

a. Sistema impossibile.

Notiamo che r(A') ≤ 2, quindi per essere impossibile r(A) = 1.

$ r(A) = 1 \; ⇔ \; det A = 0 \; ⇔ \; 18-2h^2 = 0  \; ⇔ \; h = \pm 3 $

Occorre verificare che r(A') sia 2

1. Se h = 3 allora si ha $ A' = \begin{pmatrix} 2 & 3 &|& 5\\ 6& 9 &|&15 \end{pmatrix} $ Risulta evidente che r(A') = 1 quindi per h = 3 il sistema è possibile e indeterminato. infinite soluzioni.
2. Se h = -3 allora si ha $ A' = \begin{pmatrix} 2 & -3 &|& 5\\ -6& 9 &|&15 \end{pmatrix} $ Risulta che r(A') = 2 quindi per h = -3 il sistema è impossibile. Nessuna soluzione

b.  Rimane da considerare i casi con h ≠ - 3; h ≠ 3

Per tali casi

• r(A) = 2
• r(A') = 2 (deve essere maggiore o eguale al precedente e non può essere 3 visto che vi sono solo due equazioni)

Per tutti questi casi il sistema è possibile inoltre essendo det A ≠ 0 e pure determinato (una sola soluzione)