[Risolto] Sistemi letterali

Per questa soluzione userò il metodo di Cramer che avevo già spiegato in questa risposta.

$\begin{cases} ax+by = a+2 \\ 2x-3y = 1 \end{cases}$

$\begin{bmatrix} a & b \\ 2 & -3 \end{bmatrix}$

$D= -3 \cdot a -2 \cdot b =-3a-2b$

$\begin{bmatrix} a+2 & b \\ 1 & -3 \end{bmatrix}$

$D_x= -3(a+2)-b \cdot 1 = -3a -6 -b = -3a -b -6$

$\begin{bmatrix} a & a+2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$

$D_y = a \cdot 1 - 2(a+2) = a-2a-4 = -a-4$

Perché il sistema sia indeterminato o impossibile $D = -3a-2b = 0 \implies 3a+2b = 0 \implies a= -\frac{2}{3}b$, a quel punto:

$x \cdot D = D_x$

$0x= -3(-\frac{2}{3}b) -b -6$

$0x = 2b-b-6$

$0x =b-6$

$y \cdot D = D_y$

$0y = -a-4=-\frac{-2}{3}b-4=\frac{2}{3}b-4$

$0y = 2b-12$

$0y=b-6$

Per $b=6$ abbiamo che$ 0(x+y)=0$ (ho sommato $x \cdot D = D_x$ e $y \cdot D = D_y$, e ogni coppia di valori $(x,y)$ rispetta questa condizione (sappiamo che $a=-\frac{2}{3}b = -4$), mentre per $b=b_1\neq 6$ accade che $ 0(x+y)=b_1-6$, ma dato che $b_1 \neq 6$, non esiste nessuna coppia di valori $(x,y)$ che risolve il sistema, in quel caso il sistema è impossibile.