[Risolto] SIstemi letterali

SPIEGAZIONE

Anche se non è esattamente il più ovvio, il metodo di Cramer è quello più veloce per questa richiesta. Il metodo di Cramer consiste nel calcolare il determinante di 3 matrici, considera il sistema

$\begin{cases} a_1x +b_1y =c_1 \\ a_2x+b_2y =c_2 \end{cases}$

Ora si individuano la matrice dei coefficienti:

$ \begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{bmatrix}$

Di cui calcoliamo il determinate $D= (a_1 \cdot b_2)(b_1 \cdot a_2)$

la matrice della $x$:

$ \begin{bmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2\end{bmatrix} $

il cui determinante è $D_x = (c_1 \cdot b_2)-(b_1 \cdot c_2)$

e infine la matrice della $y$:

$ \begin{bmatrix} c_1 & a_1 \\ c_2 & a_2 \end{bmatrix} $

il cui determinate è $D_y= (c_1 \cdot a_2)-(a_1 \cdot c_2)$.

Secondo Cramer, quando il sistema è determinato, le soluzioni sono:

$x= \frac{D_x}{D}$

$y= \frac{D_y}{D}$

Perché il sistema sia indeterminato o impossibile deve accadere che $D=0$. Se sei interessato e hai studiato le matrici come oggetto matematico qui trovi una dimostrazione (perché non è ovvio che questo metodo funzioni sempre).

Nota:

Il metodo di Cramer si può usare per risolvere qualsiasi sistema di equazioni lineari con più di due incognite, ma cambia il metodo per calcolare il determinate, puoi trovare una regola generale qui.

SOLUZIONE

Ora risolviamo l'esercizio:

$\begin{cases} ax -y = 3 \\ x+y = 3a\end{cases}$

La matrice delle incognite è:

$\begin{bmatrix} a & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$

$D= a \cdot 1 - (-1) \cdot 1 = a+1$

Poniamo $D=a+1=0$ e otteniamo $a=-1$, quindi sostituiamo $a=-1$ nel sistema:

$\begin{cases} -x -y =3 \\ x +y = -3 \end{cases}$ moltiplichiamo tutto per $-1$ nella prima equazione

$\begin{cases} x+y =-3 \\ x+y = -3 \end{cases}$

Abbiamo un sistema con due equazioni equivalenti, questo significa che il sistema è indeterminato.