[Risolto] Sistemi letterali

Operiamo per sostituzione. Dalla seconda ricaviamo la y

$ 4ay = a+2-2ax$.  Si prospettano due casi

1. $a = 0 ⇒ 0 = 2.$ Impossibile, il sistema è impossibile.
2. $a ≠ 0 \; ⇒ \; y = \frac{a+2-2ax}{4a} $

Sostituiamo tale valore nella prima

$ 2ax+2x+ 12 \frac{a+2-2ax}{4a} = 3a $

$ 2a^2x + 2ax +3a+6 -6ax = 3a^2 $

$ 2a(a-2)x = 3(a^2-a-2) = 3(a+1)(a-2)$  Si prospettano altri due casi

1. $ a = 2 \; ⇒ \; 0 = 0 $ Questa è vera, nessun dubbio. In questo caso la prima equazione equivale alla seconda. Siamo così di fronte a un sistema di due incognite e una sola equazione, ovvero è indeterminato.
2. $ a \ne 2$ allora posso semplificare (dividere). $ x = \frac{3(x+1)}{2a} $

Conclusione.

• Se a = 0 il sistema è impossibile. (Nessuna soluzione)
• Se a = 2 il sistema è possibile ma indeterminato. (∞¹ soluzioni)
• Se a ≠ 0 ∧ a ≠ 2 il sistema è possibile e determinato. La soluzione in questo caso è:
  • • • $ x = \frac{3(x+1)}{2a}  ∧  y = \frac{a+2-2ax}{4a} $