[Risolto] Sistemi letterali

La tentazione di semplificare la a sulla prima equazione è piuttosto forte. Semplificare significa dividere ambo i membri per a. Dividere fa sorgere un grosso dubbio, si può fare se a è diverso da zero...

In altre parole: 

i.    Se a = 0 allora il sistema diventa

$ \left\{\begin{align} 0 &= 0 \\ 0 &= 2-3(x+y) \end{align} \right. $

Due incognite una equazione, il sistema è possibile ma indeterminato le ∞¹ soluzioni sono date dalla

$ y = -x + \frac{2}{3}; \qquad \forall x \in \mathbb{R}$

ii.  Se a ≠ 0 allora possiamo semplificare

$ \left\{\begin{align} 5y &= x+1 \\ a(x+y) - a &= 2-3(x+y) \end{align} \right. $ 

$ \left\{\begin{align} x &= 5y - 1 \\ (a+3)(x+y) &= 2+a  \end{align} \right. $ 

Risolviamolo per sostituzione

$ \left\{\begin{align} x &= 5y - 1 \\ (a+3)(5y-1+y) &= 2+a  \end{align} \right. $ 

$ \left\{\begin{align} x &= 5y - 1 \\ (a+3)(6y-1) &= 2+a  \end{align} \right. $ 

dalla seconda, si deve dividere per (a+3), dividere?!

Ancora i soliti due casi

1. Se a = - 3 si ha 0 = -1 Impossibile. Il sistema è impossibile
2. Se a ≠ -3 allora 

$ 6y-1 = \frac{2+a}{a+3} $

$ y = \frac{2a+5}{6(a+3)} $

ne consegue che

$ x = 5y-1 = \frac{4a+7}{6(a+3)} $

Conclusione:

1. Per a = 0;   il sistema è possibile ma indeterminato
2. Per a = -3;  il sistema è impossibile
3. Per a ≠ 0 ∧ a ≠ -3 il sistema è possibile e determinato