[Risolto] Sistemi letterali

$\begin{cases} a^2(x+3y) -a(18y-1)=x-27y \\ a(x+y-1)=2+3y-x\end{cases}$

$\begin{cases} a^2x+a-x=-3a^2y+18ay-27y \\ ax-a-2+x=3y-ay \end{cases}$

$\begin{cases} (a^2-1)x+3(a-3)^2y=-a \\ (a+1)x+(a-3)y=a+2    \end{cases}$

Adesso che abbiamo i coefficienti di ogni variabile in entrambe le equazioni, vediamo cosa succede se azzeriamo i coefficienti: 

Gli zeri di ciascun coefficiente sono $a=\pm 1,\ a =3$

Proviamo prima con $a=3$ (elimino in partenza i termini con $y$ perché $a=3$ azzera i coefficienti):

$\begin{cases} (3^2-1)x=-3 \\ (3+1)x = 3+2 \end{cases}$

$\begin{cases}8x=-3 \\ 4x=5 \end{cases}$

$\begin{cases} x = -\frac{3}{8} \\ x=\frac{5}{4} \end{cases}$

Questa è una contraddizione, perché $x$ non può avere due valori diversi contemporaneamente, quindi per $a=3$ il sistema è impossibile.

Proviamo adesso con $a=-1$:

$\begin{cases} 3(-1-3)^2y=-(-1) \\ (-1-3)y=-1+2 \end{cases}$

$\begin{cases}48y=1 \\ -4y= 1 \end{cases}$

$\begin{cases} y = \frac{1}{48} \\ y=-\frac{1}{4} \end{cases}$

Anche in questo caso abbiamo una contraddizione, quindi per $a=-1$ il sistema è impossibile.

Ti risparmio i calcoli per $a=1$, perché il sistema è determinato (le soluzioni sono $(x,y)=(\frac{17}{12}, -\frac{1}{12})$). Un altro modo in cui il sistema potrebbe essere impossibile o indeterminato è se rappresenta il punto di intersezione tra rette parallele distinte (quindi è impossibile) o coincidenti (quindi è indeterminato). Vediamo che le nostre equazioni sono scritte in forma implicita, quindi vediamo per quale altro valore di $a$ le rette sono parallele e verifichiamo se sono anche coincidenti:

ricordiamo che se la retta è in forma esplicita del tipo $ax+by+c=0$, $m=-\frac{a}{b}$, $q=-\frac{c}{b}$, quindi eguagliamo i rapporti tra i coefficienti delle equazioni delle rette:

$-\frac{a^2-1}{3(a-3)^2}=-\frac{a+1}{a-3}$

abbiamo già visto che per $a=-1 \lor a=3$ il sistema è impossibile, quindi supponiamo che $a \neq -1 \lor a \neq 3$ e dividiamo per $-\frac{a+1}{a-3}$:

$\frac{a-1}{3(a-3)}=1$

$a-1=3(a-3)$

$a-1=3a-9$

$2a=8$

$a=4$.

ora verifichiamo se $-\frac{c}{b}  = -\frac{c'}{b'}$

$-\frac{a}{3(3-a)^2} = -\frac{-a-2}{a+3}$

sostituiamo $a=4$:

$-\frac{4}{3(3-4)^2}=-\frac{-4-2}{4+3}$

$-\frac{4}{3}=\frac{6}{7}$

che ovviamente è falso, quindi per $a=4$ le rette sono parallele e distinte, quindi il sistema è impossibile.