[Risolto] Sistemi letterali

Riduciamolo nella forma classica

$ \left\{\begin{aligned} x-x^2+y+x^2&= a-xy \\bx+ay&=b^2 \end{aligned} \right. $

$ \left\{\begin{aligned} x+y&= a \\bx+ay&=b^2 \end{aligned} \right. $

E' un sistema lineare

• Sia A la matrice dei coefficienti

$ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ b & a \end{pmatrix} $

• Sia A' la matrice completa

$ A' = \begin{pmatrix} 1 & 1 &| & a \\ b & a &|& b^2 \end{pmatrix} $

ne consegue che i rispettivi ranghi sono:

1. r(A) = 2 se a ≠ b
2. r(A) = 1 se a = b
3. r(A') = 2 se a ≠ b
4. r(A') = 1 se a = b      Infatti la matrice A' risulta 

$ A' = \begin{pmatrix} 1 & 1 &| & a \\ a & a &|& a^2 \end{pmatrix} $

Conclusione:

i) Se a ≠ b il sistema è possibile e determinato essendo il numero delle incognite n pari al rango. n= r(A) = r(A')

ii) Se a = b il sistema è ancora possibile (r(A) = r(A')) ma il sistema risulta indeterminato. Infatti il numero delle incognite n = 2 mentre i due ranghi valgono 1.

In questo caso possiamo affermare che il sistema ammetterà $\infty^{n-r} = \infty^1$ soluzioni, ovvero le infinite soluzioni dipendono da una solo variabile libera.