Sistemi frazionari

Scrivo la 1^ equazione scomponendo in fattori i denominatori:

1/((x + 2·y + 1)·(x + 2·y - 1)) = 1/(2·(x + 2·y + 1))

la porto alla forma intera:

2 = x + 2·y - 1

dopo aver posto il C.E. 

x + 2·y ≠ -1 ∧ x + 2·y ≠ 1

Risolvo:

{2 = x + 2·y - 1

{x - y/2 = 3

procedo per sostituzione:

x = y/2 + 3

2 = (y/2 + 3) + 2·y - 1

2 = 5·y/2 + 2

5·y/2 = 0----> y = 0

x = 0/2 + 3----> x = 3

La soluzione è compatibile con le C.E.:

3 + 2·0 ≠ -1 ∧ 3 + 2·0 ≠ 1

Scomponiamo i denominatori della prima equazione:

(x^2 + 4y^2 + 4xy) - 1 = (x + 2y)^2 - 1;  (differenza di quadrati);

(x + 2y)^2 - 1 =  [(x + 2y) + 1] * [(x + 2y) - 1];

2x + 4y + 2 = 2 * (x + 2y + 1);     i denominatori  devono essere diversi da 0. 

{1 / [(x + 2y + 1)(x + 2y - 1)] = 1 / [2 (x + 2y + 1)] ;  (1)

{x - y/2 = 3;  (2);

{1 / [(x + 2y + 1)(x + 2y - 1)] = 1 / [2 (x + 2y + 1)] ;  (1)  mcm = 2 * (x + 2y + 1)(x + 2y - 1);

{2x - y = 6;  (2);

{2 = x + 2y - 1;  (1)

{y = 2x - 6;  (2)

{x + 2y = 3;  (1)

{y = 2x - 6;  (2)  sostituiamo y nella (1);

x + 4x - 12 = 3;  (1)

5x = 15;

x = 15/3 = 3;

y = 2 * 3 - 6 = 0; (accettabili);

infatti non si annulla il denominatore:

(x + 2y)^2 - 1 =  (3 - 0)^2 - 1 = 8.

Ciao  @alby