[Risolto] Sistemi di grado superiore al secondo

x + 2y = k;

prima equazione:

k^2 + k - 2 = 0

k = [- 1 +- radice(1 + 4 * 2)] / 2;

k = [- 1 +- radice(9)] / 2 = [-1 +- 3] /2;

k1 = (- 1 + 3)/2 = 1,

k2 = (- 1 - 3) /2 = - 2;

x + 2y = 1;

x + 2y = - 2

x = 1 - 2y;   (1)

x = - 2 - 2y;  (2) ;

nella seconda equazione, sostituiamo la (1):

x = 1 - 2y;  (1)

x^2 - 2y^2 = - 2;

(1 - 2y)^2 - 2y^2 = - 2;

1 + 4y^2 - 4y - 2y^2 = - 2;

1 + 2y^2 - 4y + 2 = 0;

2y^2 - 4y + 3 = 0;

y = [+ 2 +- radicequadrata(4 - 6)] / 2;  radice(-2) non ha soluzione reale;

sostituiamo la (2):

x = - 2 - 2y;  (2)

x^2 - 2y^2 = - 2;

(- 2 - 2y)^2 - 2y^2 = - 2,

+ 4 + 4y^2 + 8y - 2y^2 + 2 = 0;

2y^2 + 8y + 6 = 0;

y^2 + 4y + 3 = 0;

y = - 2 +- radice(2^2 - 3);

y = - 2 +- 1;  (due soluzioni reali);

y1 = - 2 + 1 = - 1;

y2 = - 2 - 1 = - 3;

x1 = - 2 - 2 * (- 1) = - 2 + 2 = 0;

x2 = - 2 - 2 * (-3) = - 2 + 6 = + 4;

Soluzioni:

x1 = 0; y1 = - 1;

x2 = + 4; y2 = - 3.

@giulia_urbinati  ciao.

Puoi porre x+2y = z

z^2 +z-2=0

fornisce z = 1 e z = - 2

e con l'altra equazione lo spezzi in due sistemi di secondo grado. 

Il sistema delle equazioni di due coniche
* la parabola degenere (x + 2*y)^2 + (x + 2*y) - 2 = 0
* l'iperbole non degenere x^2 - 2*y^2 = 2
è di grado quattro, quindi ha un numero pari di soluzioni reali: zero, due o quattro.
Conviene spezzare la conica degenere nelle rette che la compongono e calcolare la soluzione del sistema di grado quattro come unione delle soluzioni dei due sistemi di grado due che ne risultano.
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* ((x + 2*y)^2 + (x + 2*y) - 2 = 0) & (x^2 - 2*y^2 = 2) ≡
≡ ((x + 2*y + 2)*(x + 2*y - 1) = 0) & (x^2 - 2*y^2 = 2) ≡
≡ ((x + 2*y + 2 = 0) oppure (x + 2*y - 1 = 0)) & (x^2 - 2*y^2 = 2) ≡
≡ (x + 2*y + 2 = 0) & (x^2 - 2*y^2 = 2) oppure (x + 2*y - 1 = 0) & (x^2 - 2*y^2 = 2) ≡
≡ (2*(1 - √3), - 2 + √3) oppure (2*(1 + √3), - 2 - √3) oppure (- 1 - √6, 1 + √(3/2)) oppure (- 1 + √6, y = 1 - √(3/2)) ≡
≡ (x, y) ∈ {(2*(1 - √3), - 2 + √3), (2*(1 + √3), - 2 - √3),(- 1 - √6, 1 + √(3/2)),(- 1 + √6, y = 1 - √(3/2))}