Nel triangolo $A B C$, rettangolo in $C$, la differenza tra le proiezioni $B H$ e $A H$ dei cateti sull'ipotenusa è di $27 \mathrm{~cm}$ e $C H=60 \mathrm{~cm}$. Calcola l'area di $A B C$.
$\left[3690 \mathrm{~cm}^2\right]$
Nel triangolo $A B C$, rettangolo in $C$, la differenza tra le proiezioni $B H$ e $A H$ dei cateti sull'ipotenusa è di $27 \mathrm{~cm}$ e $C H=60 \mathrm{~cm}$. Calcola l'area di $A B C$.
$\left[3690 \mathrm{~cm}^2\right]$
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Livello 0
Triangolo rettangolo ABC: NOMI E RELAZIONI
* circumraggio R
* |BC| = a
* |AC| = b
* |AB| = c = 2*R
* |AH| = t
* |BH| = s
* perimetro p = a + b + c
* area S = a*b/2 = c*h/2
* |CH| = h = a*b/c
Triangolo rettangolo ABC: TEOREMI
Pitagora: il quadrato dell'ipotenusa è la somma dei quadrati dei cateti ≡
≡ c^2 = a^2 + b^2; b^2 = t^2 + h^2; a^2 = s^2 + h^2.
Euclide I: il cateto è medio proporzionale tra la sua proiezione e l'ipotenusa ≡
≡ a^2 = s*c; b^2 = t*c.
Euclide II: l'altezza è medio proporzionale tra le proiezioni ≡
≡ h^2 = s*t.
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IL TUO PROBLEMA (misure in cm, cm^2)
Dati
* |BH| - |AH| = s - t = 27
* |CH| = h = 60
si chiede di calcolare S.
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* (s - t = 27) & (h^2 = 60^2 = s*t) & (c = s + t) ≡
≡ (s = 75) & (t = 48) & (c = 123)
* area S = c*h/2 = 123*60/2 = 3690
che è proprio il risultato atteso.
51800
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Genius I
Per il secondo teorema di Euclide
x é la proiezione del cateto minore
le misure lineari sono in cm, le aree in cm^2
x(x + 27) = 60^2 e S = (2x + 27)*60/2 = 30(2x + 27)
x^2 + 27x - 3600 = 0
prendendo solo la radice positiva
x = (-27 +- sqrt(729 + 14400))/2 = (123 - 27)/2 = 48
S = 30*(96 + 27) = 30*123 = 3690 cm^2
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Livello 6