[Risolto] Sistemi di disequazioni

SOLUZIONE

• sistema iniziale

$\begin{cases}(2x+3)(1-2x)+2x(2-x)+6(x-3)^{2}+15>0\\\frac{x-1}{3}-\frac{2}{3}x-4(2-3x)\leq\frac{1}{3}(1-4x)\\\frac{1}{2}(3-2x)^{2}+(2+x)(-2-x)\leq\frac{(5+2x)x}{2}\end{cases}$

• risolviamo la prima disequazione

$2x-4x^{2}+3-6x+4x-2x^{2}+6(x^{2}-6x+9)+15>0$

$2x-4x^{2}+3-6x+4x-2x^{2}+6x^{2}-36x+54+15>0$

$72-36x>0$

$-36x>-72$

$36x<72$

$x<2$

• risolviamo la seconda disequazione

$\frac{x-1}{3}-\frac{2}{3}x-8+12x\leq\frac{1}{3}-\frac{4}{3}x$

$\frac{x-1-2x-24+36x}{3}\leq\frac{1-4x}{3}$

$x-1-2x-24+36x\leq1-4x$

$35x-25\leq1-4x$

$39x\leq26$

$x\leq\frac{2}{3}$

• risolviamo la terza disequazione

$\frac{(3-2x)^{2}}{2}+(2+x)+[-(2+x)]\leq\frac{5x+2x^{2}}{2}$

$\frac{9-12x+4x^{2}}{2}-(2+x)^{2}\leq\frac{5x+2x^{2}}{2}$

$\frac{9-12x+4x^{2}}{2}-(4+4x+x^{2})\leq\frac{5x+2x^{2}}{2}$

$\frac{9-12x+4x^{2}}{2}-4-4x-x^{2}\leq\frac{5x+2x^{2}}{2}$

$9-12x+4x^{2}-8-8x-2x^{2}\leq5x+2x^{2}$

$1-20x+2x^{2}\leq5x+2x^{2}$

$-25x\leq-1$

$x\geq\frac{1}{25}$

• sistema risolto

$\begin{cases}x<2\\x\leq\frac{2}{3}\\x\geq\frac{1}{25}\end{cases}$

• soluzione

$\frac{1}{25}\leq{x}\leq\frac{2}{3}$

 

Spero di averti aiutata, se hai dei dubbi chiedi pure. Ciao 😊

La richiesta di "come svolgere l'esercizio 21" mi fa pensare che t'interessi più la procedura (il "come") che non il risultato che, se arriva, è un di più.
Inizio col rammentarti di che si tratta: forse così segui meglio i noiosi passaggi risolutivi.
L'esercizio 21 chiede di risolvere un sistema di tre disequazioni, nella sola variabile "x"; quindi la soluzione è un insieme, eventualmente vuoto, di punti appartenenti all'asse x. Tale insieme è l'intersezione sia degl'insiemi soluzione delle tre disequazioni date che di quelli che risolvono le eventuali condizioni restrittive che dovessero sorgere durante lo sviluppo della procedura risolutiva.
Le disequazioni date hanno tutt'e tre una diseguaglianza d'ordine, una d'ordine stretto e due d'ordine lasco.
Quest'ultime hanno per soluzione l'unione fra la soluzione dell'equazione e quella della disequazione stretta.
Ciò che segue lo scrivo attenendomi a quest'analisi dell'esercizio 21 e delle sue implicazioni.
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PROCEDURA RISOLUTIVA
* & = intersezione
* | = unione
* ≡ = equivalenza
* * = moltiplicazione (o punto d'elenco puntato)
* / = divisione o linea di frazione
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A) Riscrivere il testo dato portandolo a forma normale canonica (col secondo membro zero) sottraendo membro a membro il secondo membro.
* ((2*x + 3)*(1 - 2x) + 2*x*(2 - x) + 6*(x - 3)^2 + 15 > 0) &
& ((x - 1)/3 - (2/3)*x - 4*(2 - 3*x) - (1/3)*(1 - 4*x) <= 0) &
& ((1/2)*(3 - 2*x)^2 + (2 + x)*(- 2 - x) - (5 + 2*x)*x/2 <= 0)
------------------------------
B) Sviluppare, commutare, ridurre, poi(se del caso) eliminare i fattori positivi, in ciascuna disequazione; (i calcoli li sviluppi tu, per la procedura basta il risultato.).
* ((2*x + 3)*(1 - 2x) + 2*x*(2 - x) + 6*(x - 3)^2 + 15 > 0) &
& ((x - 1)/3 - (2/3)*x - 4*(2 - 3*x) - (1/3)*(1 - 4*x) <= 0) &
& ((1/2)*(3 - 2*x)^2 + (2 + x)*(- 2 - x) - (5 + 2*x)*x/2 <= 0) ≡
≡ (36*(2 - x) > 0) & (13*(x - 2/3) <= 0) & ((25/2)*(1/25 - x) <= 0) ≡
≡ (2 - x > 0) & (x - 2/3 <= 0) & (1/25 - x <= 0)
NB
Non è sorta alcuna condizione restrittiva.
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C) Isolare la variabile e poi riscrivere in forma normale standard (termine noto a secondo membro).
* (2 - x > 0) & (x - 2/3 <= 0) & (1/25 - x <= 0) ≡
≡ (2 > x) & (x <= 2/3) & (1/25 <= x) ≡
≡ (x < 2) & (x <= 2/3) & (x >= 1/25)
------------------------------
D) Calcolare l'intersezione (e/o le eventuali unioni da sdoppiamento).
* (x < 2) & (x <= 2/3) & (x >= 1/25) ≡
≡ (x <= 2/3) & (x >= 1/25) ≡
≡ (x >= 1/25) & (x <= 2/3) ≡
≡ 1/25 <= x <= 2/3ì
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E) Verificare con altri mezzi, nel paragrafo "Result" al link
((2*x+3)*(1-2x)+2*x*(2-x)+6*(x-3)^2+15>0)&((x-1)/3-(2/3)*x-4*(2-3*x)-(1/3)*(1-4*x)<=0)&((1/2)*(3-2*x)^2+(2+x)*(-2-x)-(5+2*x)*x/2<=0)for x real

 

Se non ho fatto errori di calcoli la soluzione del sistema è 1/25≤x≤2/3. Se mi dici precisamente cosa non ti torna posso vedere di aiutarti.