Sistemi di 2 grado

@Aurora_Lecchi

Se x≠ y il sistema è impossibile poiché dividendo entrambi i membri della prima equazione per (x - y) deve essere 

x+2 = x - 1 

Condizione mai verificata. Sistema impossibile. 

Se x=y, la prima equazione è sempre verificata. Dalla seconda equazione risulta:

x² + 2x + 1 - x² + 4x - 4 = 0

6x - 3 = 0

X=1/2

Y=X= 1/2

@aurora_lecchi

Ciao.

{(x + 2)·(x - y) = (x - 1)·(x - y)

{(x + 1)^2 - (x - 2)^2 = (x + y)·(x - y)

----------------------------------------

{x^2 - x·y + 2·x - 2·y = x^2 - x·y - x + y

{(x^2 + 2·x + 1) - (x^2 - 4·x + 4) = x^2 - y^2

------------------------------------------

{x^2 - x·y + 2·x - 2·y - (x^2 - x·y - x + y) = 0

{(x^2 + 2·x + 1) - (x^2 - 4·x + 4) - (x^2 - y^2) = 0

-------------------------------------------------

{3·x - 3·y = 0

{- x^2 + 6·x + y^2 - 3 = 0

per sostituzione:  y = x

- x^2 + 6·x + x^2 - 3 = 0

6·x - 3 = 0------> x = 1/2

In definitiva, soluzione del sistema: [x = 1/2 ∧ y = 1/2]

sistema dato :

(x+2)*(x-y) = (x-1)*(x-y).... (*)

(x+1)^2 - (x-2)^2 = (x+y)*(x-y)....(**) 

nella equazione (*) la quantità x-y si semplifica e rimane :

x+2 = x-1 il che è chiaramente falso ; la sola condizione che rende plausibile l'uguaglianza della prima equazione è che x-y sia uguale a zero , da cui (x+2)*0 = (x-1)*0.

Ne deriva che :

x-y = 0

x = y

passando alla seconda equazione  (x+1)^2 - (x-2)^2 = (x+y)*(x-y)

si ha 

x^2+1+2x-(x^2+4+4x) = (x+y)*0

6x = 3

x = 1/2

y = 1/2

* ((x + 2)*(x - y) = (x - 1)*(x - y)) & ((x + 1)^2 - (x - 2)^2 = (x + y)*(x - y)) ≡
≡ ((x + 2)*(x - y) - (x - 1)*(x - y) = 0) & ((x + 1)^2 - (x - 2)^2 - (x + y)*(x - y) = 0) ≡
≡ (3*(x - y) = 0) & (x^2 - 6*x - y^2 - 3 = 0) ≡
≡ (y = x) & (((x - 3)/(2*√3))^2 - (y/(2*√3))^2 = 1)
quindi si tratta d'intersecare la bisettrice dei quadranti dispari (di pendenza uno) con l'iperbole equilatera di semiassi a = b = 2*√3, centro C(3, 0), vertici V(3 ± 2*√3, 0), fuochi F(3 ± 2*√6, 0), MA SOPRATTUTTO
* asintoti y = x - 3 oppure y = 3 - x
uno parallelo e l'altro ortogonale alla bisettrice da intersecare.
Pertanto il sistema ha una sola soluzione semplice in quanto nella risolvente i termini quadratici si eliminano e resta solo il doppio prodotto
* ((x - 3)/(2*√3))^2 - (x/(2*√3))^2 = 1 ≡
≡ - (2*x + 1)/4 = 0 ≡
≡ y = x = 1/2