Cortesemente, datemi delle dritte per questo tipo di disequazioni irrazionali con la variabile al denominatore, nel manuale che uso c'è solo la spiegazione per quelle con la variabile al numeratore, ma danno comunque esercizi come questo. Ringrazio e saluto
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Livello 1
Se osservi attentamente la prima disequazione, capisci che il coefficiente numerico del termine incognito (3 - rad(10)) è minore di zero. Quindi la prima disequazione è verificata se:
x< 2 / [3 - rad (10)] =~ - 12,32
Osservando la seconda disequazione, capisci che il numeratore è un numero negativo. Se vogliamo che la disequazione risulti verificata, dobbiamo imporre che il denominatore sia negativo. Quindi:
2x - rad(3) < 0
x < rad (3) / 2 =~ 0,866
Dall'intersezione delle due soluzioni trovate (entrambe le condizioni verificate), determino la soluzione del sistema.
{x< 2/[3 - rad (10)]
{x< rad(3) /2
Da cui si ricava la soluzione: S= {x< 2/(3 - rad 10)}
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Genius II
@stefanopescetto si Stefano, tutto chiaro fin qui, ero giunto anch'io alla stessa conclusione, ma il manuale mi dà come soluzione x<-2(rad10+3). Ho provato a razionalizzare la nostra soluzione, allora ottengo x<-6-2rad10. Non capisco come si ottiene la soluzione del manuale. Ciao
2/(3 - rad (10))
Moltiplicando numeratore e denominatore per 3+rad (10) si ricava
Numeratore = 2*(3+rad(10))
Denominatore = 9 - 10 = - 1
Quindi:
Numeratore / Denominatore = - 2*(3+rad 10) = - 6 - 2*rad(10)
Ok
@stefanopescetto questa è la soluzione indicata dal manuale Stefano x<-2(rad10+3) ...
VA bene. Coincide con quello che ti ho scritto
Non sono disequazioni irrazionali.
Il sistema:
{(3 - √10)·x - 2 > 0
{(1 - √5)/(2·x - √3) ≥ 0
ha come singole soluzioni:
{x < - 2·√10 - 6
{x < √3/2
e quindi soluzione: [x < - 2·√10 - 6]
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Genius III
@lucianop ciao Luciano, il manuale mi dà come irrazionale semplicemente una radice da cui si ottiene un decimale non periodico (illimitato)... Thanks
Ciao. La definizione si riferisce non alla costanti irrazionali, ma esclusivamente ad equazioni e/o disequazioni contenenti le incognite sotto il segno di qualche radici (ossia che compaiono come radicando)
@lucianop prendo nota, thank you
DOVRESTI CAMBIARE MANUALE
* intanto perché dà esercizi di tipo non spiegato,
* ma soprattutto perché classifica ERRONEAMENTE come "con disequazioni irrazionali" questo sistema composto di due disequazioni razionali (una intera e una fratta).
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Gli attributi {algebrica/trascendente, ir/razionale, intera/fratta} della disequazione si riferiscono solo alla variabile, non ai coefficienti.
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Se anche una sola x appare come argomento di funzione trascendente, tale è la disequazione; se no è algebrica.
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Se in una disequazione algebrica anche una sola x appare come base di potenza con esponente frazionario, la disequazione è irrazionale; se no è razionale.
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Se in una disequazione algebrica razionale anche una sola x appare a denominatore anche di un solo termine, la disequazione è fratta; se no è intera.
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Nel tuo sistema c'è una sola x in ogni disequazione: gli attributi sono immediati.
* ((3 - √10)*x - 2 > 0) & ((1 - √5)/(2*x - √3) >= 0)
"DATEMI DELLE DRITTE"
Per vedere che l'irrazionalità dei coefficienti non influenza la procedura risolutiva basta chiamarli per nome e aggiungere al sistema i loro segni
* d = (3 - √10) ~= - 0.162 < 0
* c = (1 - √5) ~= - 1.236 < 0
* t = √3 ~= 1.732 > 0
* ((3 - √10)*x - 2 > 0) & ((1 - √5)/(2*x - √3) >= 0) ≡
≡ (d*x - 2 > 0) & (d < 0) & (c/(2*x - t) >= 0) & (c < 0) & (t > 0) ≡
≡ (x < 2/d) & ((c/(2*x - t) = 0) oppure (c/(2*x - t) > 0)) & (c < 0) & (t > 0) ≡
≡ (x < 2/d) & ((c/(2*x - t) = 0) & (c < 0) & (t > 0) oppure (c/(2*x - t) > 0) & (c < 0) & (t > 0)) ≡
≡ (x < 2/d) & ((insieme vuoto) oppure (c*(x - t/2) > 0) & (c < 0) & (t > 0)) ≡
≡ (x < 2/d) & (x - t/2 < 0) & (t > 0) ≡
≡ (x < 2/d) & (x < t/2) ≡
≡ (x < 2/(3 - √10) ~= - 12.32) & (x < √3/2 ~= 0.866) ≡
≡ x < 2/(3 - √10) = - 2*(3 + √10) ~= - 12.32
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Genius I
@exprof benedetto prof., ogni volta mi fai girare le rotelle per interpretare le tue soluzioni... Scherzi a parte, come dicevo a Luciano, il manuale mi dà come irrazionale una radice da cui risulta un decimale non periodico. Ormai sono quasi alla fine del secondo manuale, mi conviene terminarlo e poi valuto per il prossimo. Dopo aver risposto a Stefano, noto con piacere che tu hai la soluzione proposta dal manuale. But, come ci arrivo all'equivalenza x < 2/(3 - √10) = - 2*(3 + √10) ? Ovvero qual'è il passaggio che mi sfugge? Thanks per la tua disponibilità...
@SalvoNardyn
"il manuale mi dà ... un decimale non periodico."
E nessuno lo contesta, ma c'entra poco col qualificare la disequazione.
Le radici sono come i coefficienti: non sono "la variabile", sono valori fissi (costanti o parametrici).
"come ci arrivo all'equivalenza x < 2/(3 - √10) = - 2*(3 + √10)?"
* 2/(3 - √10) = 2*(3 + √10)/((3 + √10)*(3 - √10)) = 2*(3 + √10)/(- 1) = - 2*(3 + √10)
"qual'è il passaggio che mi sfugge?"
... (x < 2/d) & (x < t/2) ≡
≡ (x < 2/(3 - √10) ~= - 12.32) & (x < √3/2 ~= 0.866) ≡
≡ x < 2/(3 - √10) ~= - 12.32 < √3/2 ~= 0.866 ≡ <========= PASSAGGIO SFUGGITO
≡ x < 2/(3 - √10) = - 2*(3 + √10) ~= - 12.32
@exprof grazie a te e Luciano ho capito la differenza tra numero irrazionale e equazione/disequazione irrazionale. Il manuale semplicemente mi ha spiegato cos'è il numero irrazionale. Punto. Negli esercizi ci hanno infilato anche le equazioni e disequazioni con numeri irrazionali (radici), per cui ne ho dedotto che anche esse si definissero irrazionali, deducendo in maniera errata: mea culpa. Ma la verità è che danno delle spiegazioni così elementari da farle capire anche agli ebeti, da una parte, dall'altra omettono definizioni o specifiche importanti che illuminerebbero tanto..., e ci intromettono anche esercizi con passaggi che vanno necessariamente esplicitati, se non l'hai fatto nelle spiegazioni... Per quanto riguarda l'equivalenza, razionalizzando x < 2/(3 - √10) ci sono arrivato anch'io a - 2*(3 + √10), solo che proseguivo con il calcolo ottenendo ovviamente x<-6-2√10. Devo decidermi ad esercitarmi di giorno, la notte mi fa perdere colpi... A buon rendere
